李子奈 一元线性回归模型的参数估计.ppt

§2.3 一元线性回归模型的参数估计 一、参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、参数估计的最大或然法(ML) 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。 普通最小二乘法（Ordinary least squares, OLS）给出的判断标准是：二者之差的平方和最小。 三、参数估计的最大或然法(ML) 最大或然法(Maximum Likelihood,简称ML)，也称最大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。 基本原理： 对于最大或然法，当从模型总体随机抽取n个样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n个样本观测值的概率最大。 四、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。 （2）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值； （3）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（best liner unbiased estimator, BLUE）。 由于随机项?i不可观测，只能从?i的估计——残差ei出发，对总体方差进行估计。 可以证明，?2的最小二乘估计量为 * 方程组（*）称为正规方程组（normal equations）。 记 上述参数估计量可以写成： 称为OLS估计量的离差形式（deviation form）。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。 在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型： 随机抽取一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为 （i=1,2,…n） 假如模型的参数估计量已经求得，为 因为Yi是相互独立的，所以的所有样本观测值的联合概率，也即或然函数(likelihood function)为： 将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。 由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下： 解得模型的参数估计量为： 可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计量是相同的。 例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。 因此，由该样本估计的回归方程为： 0.670 4974750 1583-0.670×2150=142.4 142.4+0.670xi 一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性： （1）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数； 高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。 － 证： 易知 故 同样地，容易得出 （2）证明最小方差性 其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数 则容易证明 普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator, BLUE） 五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计 2、随机误差项?的方差?2的估计 ?2又称为总体方差。 它是关于?2的无偏估计量。 *