电磁场第一章-矢量教程.ppt

旋度是一个矢量。以符号 curl A 表示矢量 A 的旋度，其方向是使矢量 A 具有最大环量强度的方向，其大小等于对该矢量方向的最大环量强度，即 式中 curl 是旋度的英文字；en 为最大环量强度的方向上的单位矢量，?S 为闭合曲线 l 包围的面积。 矢量场的旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。 en1 en2 en 直角坐标系中，旋度可用矩阵表示为 或者 无论梯度、散度或旋度都是微分运算，它们表示场在某点附近的变化特性。因此，梯度、散度及旋度描述的是场的点特性或称为微分特性。 函数的连续性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前述的梯度、散度或旋度。 旋度定理（斯托克斯定理） 从数学角度可以认为旋度定理建立了面积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为旋度定理建立了区域 S中的场和包围区域 S 的边界 l 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 S 中的场，根据旋度定理即可求出边界 l 上的场，反之亦然。 或者 曲面的剖分 例 试证任何矢量场 A 均满足下列等式 式中，S 为包围体积 V 的闭合表面。此式又称为矢量旋度定理，或矢量斯托克斯定理。 证 设 C 为任一常矢量，则 S V A 根据散度定理，上式左端 那么对于任一体积 V，得 求得 散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的矢量场称为无旋场。 4. 无散场和无旋场 可以证明 上式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，任何旋度场一定是无散场。 上式表明，任一标量场? 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋场。 又可证明 5. 格林定理 设任意两个标量场? 及?，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，可以证明该两个标量场? 及? 满足下列等式 S V ?,? 式中S 为包围V 的闭合曲面； 为标量场 ? 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏导数。 根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成 上两式称为标量第一格林定理。 基于上式还可获得下列两式： 上两式称为标量第二格林定理。 设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式： 式中S 为包围V 的闭合曲面；面元 dS 的方向为S 的外法线方向。上式称为矢量第一格林定理。 基于上式还可获得下式： 此式称为矢量第二格林定理。 格林定理建立了区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场的求解问题。 格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。 6. 矢量场的惟一性定理 位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。 V S F(r) 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连续有界，源分布在有限区域V ? 中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为 7. 亥姆霍兹定理 式中 V z x y r O r r – r F(r) 该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。 8. 正交曲面坐标系 直角坐标系( x, y , z ) z x y z = z0 x = x0 y = y0 P0 O 圆柱坐标系( r, ? , z ) y z x P0 ? 0 ? =? 0 r = r0 z = z0 O 球坐标系( r, ?, ? ) ? = ? 0 x z y ? 0 ? 0 r = r 0 ? = ? 0 P0 O 微分单元的表示 球坐标系 圆柱坐标系 直角坐标系 坐标变量的转换 矢量分量的转换 又知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为 式中， a, b, c 均为常数。A 是常矢量吗？ 已知矢量 A 在直角坐标系中可表示为 式中， a, b, c 均为常数。A 是常矢量吗？ 第一章 矢量分析 主 要 内 容 梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度