概率论与数理统计_第1章3节教程.ppt

备用思考题： 设p(A)=0.5,p(AB)=0.3,问p(AUB)的最大，小值？ 前面讲到：事件就是某些样本点组成的集合，事件之间的运算也就是集合运算. 前苏联学者柯尔莫哥洛夫于1933年在《概率论基础概念》一书中，用公理化的方法与集合论的观点成功地解决了这一问题，提出了概率空间的概念. 但是，并没有对事件的集合进行限制. 对于事件，一个很明显的要求就是所有事件组成的集合对于并、交、余这三种运算封闭. 第一章 随机事件和概率 一、概率空间及其三要素 1、样本空间 2、 与可测空间 3、概率P与概率空间 二、概率的可列可加性与连续性 三、概率空间的实际例子 §1.3 概率的公理化定义 概率空间 第一章 随机事件和概率 一、概率空间及其三要素 1、样本空间 是一非空集合，称为样本空间；其中的元素称为样本点，相应于随机试验的结果. 2、 与可测空间 我们把事件A定义为 的一个子集，它包含若干样本点，事件A发生当且仅当A 所包含的样本点中有一个发生. 一般并不把 的一切子集都作为事件，因为这将对给定概率带来困难.同时，又必须把问题中感兴趣的事件都包括进来，因为事件的交、余、并等也应该为事件，也应该有相应的概率. 中的元素称为事件，也称 为事件域. 称为必然事件， 称为不可能事件. 于是，我们把事件的全体记为 ，它是由 的某些子集构成的集合族，并且还应满足下面的条件： 称满足上述条件的集合族为 域，也称 -代数. 很显然，根据定义，必然事件和不可能事件都在事件域中，事件的有限及可列交、并以及差也都在事件域中. 例1 为一 -代数. 例2 为一 -代数. 例3 是由 的一切子集构成. 这时， 是一个有限的集合，共有元素2n 个. 为一 -代数. 例4 为一 -代数. 可以验证 对于一般的 ，若 由 的一切子集构成， 注 事件域可以很简单，也可以十分复杂，要根据问题的不同要求来选择适当的事件域. 3、概率P与概率空间 （i） 概率P 为定义在事件域 上的函数，即它是一个从 到 的映射： ，且它满足 （ii） 性质（iii）也称为可列可加性. （iii）完全可加性： 称这样的P为可测空间 上的一个概率测度 ，简称为概率， 称为概率空间. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而承认的前提， 这些前提规定了所讨论的对象的一些基本关系和所满足的 条件，然后以之为基础，推演出所讨论的对象的进一步的 内容.几何学就是一个典型例子.成功地将概率论实现公理化 的是现代苏联大数学家柯莫哥洛夫.值得赞赏的不止在于他 实现了概率论的公理化，还在于他提出的公理为数很少且 极为简单，而在这么一个基础上建立起了概率论的宏伟大厦. 概率测度P的性质与推广: 第一章 随机事件和概率 第一章 随机事件和概率 重 要 推 广 加法公式的推广（多除少补原理） 第一章 随机事件和概率 提示：可用归纳法证明 推论 （次可加性） 利用多除少补原理来作概率的计算，常能使解题思路清晰，计算便捷. 例5（匹配问题） 某人写好 n 封信，又写好 n 只信封， 然后在黑暗中把每封信放入一只信封中，试求至少有一封信放对的概率.（1708年为Montmort所解决，后由Laplace等人推广） 解 若以 Ai 记第i 封信与信封符合，则所求的事件为 不难求得 因此 二、概率的可列可加性与连续性 定义1 若 且 ，则 是 中的一个单调不减的集序列. 若 且 ，则 是 中的一个单调不增的集序列. 定义2 对于 上的集合函数 ，若它对 中任何一个单调不减的集序列 均有： 成立，则我们称它是下连续的. （1） 若（1）式对 中任何一个单调不增的集序列 均成立，则我们称它是上连续的. 定理 若 为 上满足 的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件为： （