第九讲指数与指数函数试卷.ppt

∴∴函数 的值域为由t=-x2-3x+4=-(x+ )2+ (-4≤x≤1)可知,当-4≤x≤- 时,t是增函数,当- ≤x≤1 时,t是减函数. 根据复合函数的单调性知:在 上是减函数,在 上是增函数. (2)由函数解析式可知定义域为R,∵f(x)=4x-2x+1-5=(2x)2-2·2x-5,令t=2x,则t0,f(t)=t2-2t-5,故f(t)=(t-1)2-6.又∵t0,∴当t=1时,ymin=-6,故函数f(x)的值域 . 由于t＝2ｘ是增函数，∴要求ｆ(x)的增区间实际上是求f(t)的增区间，求f(x)的减区间实际上是求f(t)的减区间．∵f(t)在(0,1］上递减，在［1,＋∞)上递增．故由t＝2ｘ≥1得x≥0；由t＝2x≤1得x≤0，∴f（x）的增区间是［0,＋∞)，减区间是(－∞,0］． 探究2 已知(1)求函数f(x)的定义域?值域;(2)讨论函数f(x)的单调性. [解](1)由ax+1≠0,得x∈R.故函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),下面求函数f(x)的值域,解法1:所以函数f(x)的值域为(-1,1). 解法二:设y=f(x),则整理得 ,又∵ax0,∴ ,即(y+1)(y-1)0.∴-1y1.故函数f(x)的值域为(-1,1). (2)设x1,x2∈R,且x1x2,于是,当0a1时,∵x1x2, ∴∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以f(x)在R上是减函数;当a1时,∵x1x2, ∴f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).所以f(x)在R上是增函数.综上可知,当0a1时,f(x)在R上是减函数;当a1时,f(x)在R上是增函数. [评析](1)求f(x)值域时,可借助ax0;(2)分0a1和a1两种情况,利用单调性的定义证明.本题中求值域的两种方法都是求函数值域的常用方法.解法1可以称为“分离常数法”,利用此法求值域的函数是分式的形式,且分子?分母的次数相同,分离出一个常数后,分子变为常数.解法2是利用函数的有界性,例如求函数 的值域就可采用此法. 名 师 纠 错误区一:忽视换元后新元的取值范围典例1求函数 的值域. 笑对高考第三关 成熟关 [错解]令 ,则,所以函数的值域为[ ) [剖析]上述解法错误的原因在于忽视了换元后新元t的范围.事实上,新元t∈(0,+∞). [正解]函数y= ,令t= ,则y=t2+t+1= ,由t= ,知t0,因为函数y= 在(0,+∞)上为增函数,所以y1,所以函数的值域为(1,+∞). 误区二:忽视复合函数单调性的复合规律典例2求函数 的单调区间. [错解]因为函数u=x2-2x=(x-1)2-1,所以u在区间(-∞,1]上 是减函数,在区间[1,+ ∞ )上是增函数,故函数 的减区间是(-∞,1] ，增区间是[1,+ ∞ ) [正解]设u=x2-2x,则 ,因为0a= 1,所以 在u∈R上是减函数,又由u=x2-2x=(x-1)2-1,所以当x∈(-∞,1]时,u是减函数, 是增函数,当x∈[1,+ ∞ )时,u是增函数， 是减函数，所以原函数f(x)的单调增区间是(-∞,1]单调递减区间是[1,+ ∞ ) . 快 速 解 题典例已知x,y是实数,且3x+5y3-y+5-x,则下列式子成立的是( )A. x+y0B. x+y0C. x-y0D. x-y0 解析：由3x+5y3-y+5-x,得3x-5-x3-y-5y,∴ .设 .∵y=3x在(-∞,+∞)上是增函数, 在(-∞,+∞)上是减函数,∴ 在(-∞,+∞)上是增函数.由已知条件,得f(x)f(-y),∴x-y,∴x+y0,故答案选A. 解 题 策 略1. 进行有理指数幂的运算?求值与化简时,其步骤是先把根式化为分数指数幂,把分式化为负指数幂,把小数化为分数,再根据有理指数幂的运算性质进行计算,在最后结果中不要同时既有根式又有分数