第10讲图像变换——小波变换(二).ppt

a:a1; b: a=1; c: a1 小波（母小波）应满足的条件 (2)带通性质 连续小波变换 如果 是复变函数，上式采用复共轭函数 。 取a=1,b=0（母小波） （a）加窗的Fourier分析的基函数振荡个数不同，而小波分析的基函数具有常数个振荡； （b) 加窗的Fourier分析的时频分辨率固定，而小波分析的时频分辨率可变。 （1） Haar小波 正交函数，A.Haar于1910年提出 当 时 ，近似表示为： (3) ，正交。 ，对所有平移正交 ，某一尺度上的尺度函数可以由下一尺度的线性组合得到， 是尺度系数。 n阶B样条是Harr尺度函数与其自身作m次卷积运算后所得的函数 Nm(t) Nm (t) 在频域中的形式： 的求解: 其中 非正交小波变换 构造一个既具有正交性，又具有紧支集(可使小波滤波特性具有线性相移特性）、平滑性（与频率分辨率有关）甚至对称性的小波基函数具有很大困难。但在应用中，紧支集是保证优良的空间局部性的条件,即容许子波基函数有一定的相关性，可能会带来许多好处。 如果存在两个常数A和B，且0A≤B∞，使得对于所有的Hilbert空间H中的函数f(t)满足下列关系 框架 Hilbert空间的一族函数 称作框架，A和B称作框架界的， 保证了变换 是连续的；常数A0。保证了变换可逆，并有连续的逆变换。 当A=B时的框架称之为紧框架(Tight Frame) 如果，A=B=1,且 则 形成规范正交基。当 构成紧框架时，则有 ，其中 是容许条件，即： 实际上A严格等于B很困难，只能A接近B。即 ,这种框架叫几乎紧框架(Sung Frame)，此时 其中 是误差。 令L表示一种映射关系 如果映射满足 则可通过小波系数 刻划函数f(t)。 如果 是一个紧框架，则有: 如果 是一个几乎紧框架,则: 只要 满足 ，且为紧支集或速降的，适当选择 就可构造这样的框架。 Daubechies给出的选择 a0 和 b0 的关系式 其中 a0 ,b0 的选择条件很宽。例如Mexico Hat小波，当 a0=2,b0=1 时，框架界A=3.223,B=3.596, =1.116。 Daubechies小波 求出 H(ω) ，再通过无穷乘积定义: 进而讨论使 正交的条件。 由 B样条小波分析 B-样条（Cardinal B-spline）:一类分段光滑又在各段连接处具有一定光滑性的函数。具有最小的支撑长度，而且有利于计算机实时处理。 递推公式： m=1,2,3 时的基数B-样条波形 N1(t) 不连续，N2(t) 连续，但一阶导数不连续，N3(t) 有连续的一阶导数，比较常用。  B -样条函数的对称形式与构造 当 m=1 时，是Haar小波，当m=2 时就是Franklin小波。在一般情况下 。其支撑区是 [0,m] P是2m阶多项式，当m是奇数时，在区间[0,1]中是严格正交的；当m是偶数时，该展开式为： 其正交尺度函数表达式为： 经双尺度方程求出 ： 又可通过 Fourire反变换求出 。 当m=1时： 当m=2时： 尺度函数 简单的构造公式如下： 求得 后即可构造规范正交系 对于m=2,有如下解析表达式： 当m=2时， 同理可求得m=3的 Φ3(ω) 和 Ψ3(ω) 。 基数-B样条小波波形 二次样条基函数 线性样条基函数 样条小波是框架理论的一部分，基数B-样条小波 和