第九章板壳结构有限元.ppt

* * * * * 厚板基础理论知识 对于厚板，基本假设： a．板的挠度w微小； b．板中性面法线在变形后仍保持直线，但不再垂直变形后的中性面； c．垂直于中性面的应力可以忽略。 中性面法线在变形后不再垂直变形后的中性面则意味着还存在横向剪切变形， 此时即需要采用Hencky理论进行分析， 这种情况下板任意一点有三个下面的变形 事实上对于薄板，也是这样三个变形，只不过 对于厚板 厚板基础理论知识 对于厚板，板的曲率和扭率为 厚板与薄板的区别在于，还要考虑由于剪切而产生的应变会产生的转角差： 厚板基础理论知识 对于厚板，其微元体的平衡为 采用与薄板类似的积分可得到 厚板结构有限元 对于厚板，板内任意一点(x,y,z)的位移为： 其位移可以采用两种方式表达。 方式一： 对应的应变矩阵为 厚板结构有限元 方式二： 对应的应变矩阵为 事实上这只是写法的区别，没有实质影响 厚板结构有限元 由应变矩阵获得应力矩阵 事实上这只是写法的区别，没有实质影响 厚板结构有限元 以最常用的8结点厚板单元给大家进行介绍 首先需要将一个厚板单元进行等参变换，注意其是二维问题 中面形状和厚度 厚板结构有限元 熟悉的二维8结点等参元形函数计算方法： 结点位移采用第一种方式表示，则： 2 2 2 3 4 1 ? ? 5 8 单元的位移可以采用形函数和结点位移表示为： 其矩阵形式为： 厚板结构有限元 应变的表达 厚板结构有限元 应力的表达 分块形式： 厚板结构有限元 应力的表达 分块形式： 厚板结构有限元 单元刚度矩阵 具体数据计算如下： 厚板结构有限元 结点荷载的等效 应用举例 设单元表面作用有均布荷载q(x,y)，等效结点荷载为 承受均布荷载q的方板，四边简支。4×4网格，挠度=？ h/L 有限元 厚板 薄板 0.01 0.04438 0.04439 0.04437 0.1 0.04628 0.04632 0.04437 0.2 0.05202 0.05217 0.04437 0.3 0.06160 0.06192 0.04437 0.4 0.07500 0.07557 0.04437 厚板结构有限元 一个问题： 薄板单元是非协调元，所以总是让我们感觉不适，厚板单元认为两个转角与挠度独立，而且根据前面等参元的使用我们知道厚板单元一定是协调的，那么为什么不就采用厚板单元进行薄板的计算呢？ 用厚板单元进行薄板的计算在数学构造上并没有太大的问题，无非是现在转角是挠度的偏导数，所以不需要对一个矩形设置8个结点，4个结点已经足够表达。 计算结果表明：当采用2×2高斯数值积分时，厚板单元也可用于薄板的分析，但是太薄时将产生剪切闭锁现象（进行刚度矩阵计算时与剪切变形相关的剪切刚度时会出现无穷大而导致单元刚度矩阵变成奇异矩阵）。 壳结构有限元 壳结构基础理论知识 壳体的中性面是一个曲面，壳单元受力状态及应力状态见图。 在作结构分析时，一般采用平面单元（板）或者曲面单元处理。 平面单元是平面应力单元和平面弯曲单元的组合体，它依赖于平板理论。在几何上以平板代替壳体，结构模拟是一种近似。但是，这种单元简单，只要结构离散化分合理，完全可以满足工程上的要求。 壳结构基础理论知识 曲面单元能够更好地模拟真实结构，相应得到的计算结果会更有效。但是，曲面壳体的变形与平板变形有所区别。壳体的中性面变形不能忽略，在壳体中的内力包括弯曲内力和中性面内力。 对于曲面单元，现常采用考虑横向剪切变形的超参数曲面壳单元。曲面壳元往往较难满足完备性和协调性要求，这里不作具体介绍。 壳结构基础理论知识 任何单曲或双曲薄壳，在单元较小时均可用薄板单元组成的单向或双向折板体系来近似，也就是采用平面壳单元进行分析。 平面壳单元可以视为平面应力单元与板弯曲单元的组合体。 平面应力单元（亦称膜单元）仅仅能够承受作用于平面内的载荷 ，不能够承受其它载荷 。假设z方向上的位移w=0，每一结点仅存在沿x轴和y轴的位移 板弯曲单元仅仅承受弯曲载荷 ，此类单元只有沿坐标z方向的位移，实际上就是利用前面已经接触过的薄板单元。 平面壳单元有限元 根据前面的假定，那么单元上任意一点(x,y,z)的位移为 平面应力位移 薄板弯曲位移 注意：上面的位移表达式是基于局部坐标系建立的，不然则不成立。 平面壳单元有限元 根据上述位移关系，单元的应变矩阵为 注意：上面的位移表达式是基于局部坐标系建立的，不然则不成立。 平面壳单元有限元 为进行以下的单元分析，定义单元结点i的位移列阵为 i结点力列阵为 单元结点位移、结点力矩阵为 均为0 在局部坐标系下其实位移列阵和力列阵的最后一项没有意义，但是考虑到最后还是要在整体坐标下进行计算，所以占一格。 平面壳单元有限元 有了刚才的位移列阵和力列阵，采用虚功原理，可以逐步完成有限元