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★理论力学电子教案 第9章 约束 质点动力学微分方程 * ★理论力学电子教案 第9章 约束 质点动力学微分方程 * 第九章 质点动力学的基本方程 1、本章内容您大都学过. 2、是基本内容. §9-1 动力学的基本定律 第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 重力 力的单位:牛[顿], 第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。 牛顿定律·惯性参考系 牛顿定律适用范围: 速度、尺度要求 惯性参考系 单位制和量纲 基本量:长度(m),时间(s),质量(kg) 量 纲:长度[L],时间[T],质量[M] 1米的定义:1/299792458秒的时间间隔内光在真空中行程的长度. 1秒的定义:铯133原子基态的两个超精细能阶间跃迁对应辐射的9,192,631,770个周期的持续时间。这个定义提到的铯原子必须在绝对零度时是静止的,而且在地面上的环境是零磁场。 千克标准是一个用铂(90%)铱(10%)合金制成的、直径和高度均为39毫米的圆柱体形状的标准砝码。 §9-2 质点的运动微分方程 1 、在直角坐标轴上的投影 或 O x y z M 2、在自然轴上的投影 由 有 O x y z M 3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题:已知运动求力. 第二类问题:已知力求运动. 混合问题:第一类与第二类问题的混合. (未知量既有力也有加速度) x y M o 例题 一质点M在xy平面内运动,已知运动轨迹为x=b cos(kt),y=c sin(kt),b,c,k为常数。试分析质点的受力。 解: 有心力作用. F 例题 一质点以水平初速度v0在空中受重力和空气阻力作自由落体运动,若空气阻力大小F=kv(k为常数),方向与速度相反。试求质点的运动方程。 解: 1、受力分析,画示力图 2、建立质点运动微分方程,求解。 初始条件: x y o mg F h 第一个方程的解: 初始条件: 初始条件: x y o mg F h 第二个方程的解: 初始条件: 初始条件: x y o mg F h r M 例题 一小球在光滑圆弧面顶部以初速度为零向下滑动。试求运动过程中小球的速度和圆弧面的约束力,并确定小球在什么位置开始脱离圆弧面。 解:1 受力分析画示力图 2 运动分析,确定运动描述方法和坐标。 3 建立运动微分方程,求解。 FN mg 第二个方程的解: r M 代入方程1求FN 脱离时FN =0 v 质点系的动力学问题: 求运动微分方程组(混合问题) 难!难!难! §9-3 非惯性系中的质点运动微分方程 转轮 A 坐在车或转轮上观看,小球的运动显然不遵循牛顿定律。 问题:能否建立适用于非惯性系的运动微分方程? 转轮 A 1. 取定系oxy(惯性系),动系o`x`y`(非惯性系); x y o x` y` o` x` y` o` x y o 2.oxy中 3. 加速度关系 4. 记 转轮 A 在质点上添加惯性力后,便可用“牛顿第二定律”解决非惯性系问题。 转轮 A 例题 质量m的小球初始时刻位于转轮上的滑槽中点,相对转轮的速度为零。转轮半径为r,在水平面上以匀角速度ω作定轴转动。求小球到达转轮边缘时的速度及该时刻滑槽对小球的约束力。 解: 1. 以小球为研究对象,在轮盘上固定一坐标架oxy 2. 运动分析 x y o 相对运动轨迹为直线; 牵连加速度和科氏加速度方向如图。 转轮 A 3. 受力分析 x y o 重力及支持力未画出; 惯性力如图示; 还有约束力。 转轮 A x y o 4. 动力学方程 初始条件 解得 §9-4 质点动力学普遍定理 1. 牛顿第二定律 2. 动量定理 积分形式 动量 3. 动量矩定理 o A 等于零 4. 动能定理 积分形式 O M1 M2 人有了知识,就会具备各种分析能力, 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书,广泛阅读, 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍,我们能丰富知识, 培养逻辑思维能力; 通过阅读文学作品,我们能提高文学鉴赏水平, 培养文学情趣; 通过阅读报刊,我们能增长见识,扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操, 给我们巨大的精神力量, 鼓舞我们前进。 * ★理论力学电子教案 第9章 约束 质点动力学微分方程 * ★理论力学电子教案 第9章 约束 质点动力学微分方程 * *
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