重黎曼积分及其可积性.PDF

⼆重黎曼积分及其可积性 ⽯亚龙 September 22, 2016 设 是平⾯矩形。它的⾯积记为 。我们总假设 是有界函数， 。 1 上积分与下积分 设 是 的⼀个分割： 记 为⼦矩形 ， . 令 sup inf 定义 Darboux 上和 和下和 （如⽆混淆，可简记为 甚⾄ ） 如下： ∑ ∑ 显然总有 。 命题 1. 假设分割 ′ 是 的加细，则有 ′ ′ 即：“上和不增，下和不减”。 此命题的证明很简单，但写起来啰嗦，故略去。 现在如果有两个不同的分割 ，我们可以取⼀个公共的加细分割 ，于是由上⼀命题知： 即：即使对不同的分割，也有“上和总不⼩于下和”。 于是我们可以考虑上和的下确界以及下和的上确界，分别称为 “上积分” 和 “下积分” ： ∫ inf ∫ sup 易见：对任意分割 ，总有 ∫ ∫ 1 2 Riemann 可积性 ∫ ∫ 定义1. 设 是 上有界函数，如果 ，则称 在 上 Riemann 可积，简称 R-可积。这个共 ∫ ∫∫ 同的值称为 在 上的积分，记为 或 。 例 1. 1. 设 是常值函数，则总有 ，从⽽上下积分相等， R-可积。 2. 设 { 则总有 ，于是 不是 R-可积的。 我们的⽬标是建⽴⼀个好⽤的可积性判别法。为此，⾸先注意到如下引理： 引理 1. 有界函数 R-可积当且仅当对任意 ϵ ，都存在分割 ，使得 ϵ。 ∫ ∫ ϵ 证明: (1) 必要性：假设 R-可积，则 ，故对任意ϵ ，存在分割 使得 ； 又存在分割 使得 ϵ 。现在取 和 的⼀个公共加细 ，则有