卡尔曼滤波算法的程序实现和推导过程.doc

卡尔曼滤波算法的程序实现和推导过程 ---蒋海林（QQ：280586940）匈牙利裔美国数学鲁道夫·卡尔曼（Rudolf Emil Kalman）///陀螺仪积分角度（先验估计） Angle_Final = Angle_Final + (Gyro - Q_bias) * dt; ///先验估计误差协方差的微分 Pdot[0] = Q_angle - PP[0][1] - PP[1][0]; Pdot[1] = - PP[1][1]; Pdot[2] = - PP[1][1]; Pdot[3] = Q_gyro; ///先验估计误差协方差的积分 PP[0][0] += Pdot[0] * dt; PP[0][1] += Pdot[1] * dt; PP[1][0] += Pdot[2] * dt; PP[1][1] += Pdot[3] * dt; ///计算角度偏差 Angle_err = Accel - Angle_Final; ///卡尔曼增益计算 PCt_0 = C_0 * PP[0][0]; PCt_1 = C_0 * PP[1][0]; E = R_angle + C_0 * PCt_0; K_0 = PCt_0 / E; K_1 = PCt_1 / E; ///后验估计误差协方差计算 t_0 = PCt_0; t_1 = C_0 * PP[0][1]; PP[0][0] -= K_0 * t_0; PP[0][1] -= K_0 * t_1; PP[1][0] -= K_1 * t_0; PP[1][1] -= K_1 * t_1; Angle_Final += K_0 * Angle_err; ///后验估计最优角度值 Q_bias += K_1 * Angle_err; ///更新最优估计值的偏差 Gyro_Final = Gyro - Q_bias; ///更新最优角速度值 } 我们先把卡尔曼滤波的5个方程贴上来： X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ……… (1)//先验估计 P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q ……… (2)//协方差矩阵的预测 Kg(k)= P(k|k-1) H’ / (H P(k|k-1) H’ + R) ……… (3)//计算卡尔曼增益 X(k|k)= X(k|k-1)+Kg(k) (Z(k) - H X(k|k-1)) ……… (4)通过卡尔曼增益进行修正 P(k|k)=（I-Kg(k) H）P(k|k-1) ……… (5)//更新协方差阵 这5个方程比较抽象，下面我们就来把这5个方程和上面的程序对应起来。 —，对于角度来说，我们认为此时的角度可以近似认为是上一时刻的角度值加上上一时刻陀螺仪测得的角速度乘以时间，因为，角度微分等于时间的微分乘以角速度。 但是陀螺仪有个静态漂移（而且还是变化的），静态漂移就是静止了没有角速度然后陀螺仪也会输出一个值，这个值肯定是没有意义的，计算时要把它减去。由此我们得到了当前角度的预测值Angle_Final: Angle_Final = Angle_Final + (Gyro - Q_bias) * dt; 其中等号左边Angle_Final为此时的角度，等号右边Angle_Final为上一时刻的角度，Gyro为陀螺仪测的角速度的值，dt是两次滤波之间的时间间隔。 #define dt 0.01 这是程序中的定义，同时零漂Q_bias也是一个变化的量。 但是就预测来说认为现在的漂移跟上一时刻是相同的即 Q_bias=Q_bias 将两个式子写成矩阵的形式 这个式子对应于卡尔曼滤波的第一个式子 X(k|k-1)=A X(k-1|k-1)+B U(k) ………(1)//先验估计 X(k|k-1)为2维列向量，A为2维方阵，X(k-1|k-1)为2维列向量，B 为2维列向量，U(k) 为Gyro 二，这里是卡尔曼滤波的第二个式子 接着是预测方差阵的预测值，这里首先要给出两个值，一个是漂移的噪声，一个是角度值的噪声，（所谓噪声就是数据的方差值） P(k|k-1)=A P(k-1|k-1) A’+Q 这里的Q为向量的协方差矩阵，即因为漂移噪声和角度噪声是相互独立的，则=0；=0； 又由性质可知cov（x，x）=D（x）即方差，所以得到的矩阵如下： 这里的两个方差值是开始就给定的常数，程序中定义如下： #define Q_angle 0.001 ////角度过程噪声的协方差 #define Q_gyro 0.