梯形多步法和辛普森积分.ppt

第7章 数值积分 数值积分问题 数值积分是工程师和科学家经常使用的基本工具，用来计算无法解析求解的定积分的近似解 定积分的几何意义：曲边梯形的面积 本章的目的是推导数值积分的基本原理 几个简单的数值积分公式 左/中/右矩形公式 梯形公式 积分简介 数值积分的目的是，通过在有限个采样点上计算 f (x)的值来逼近 f (x)在区间[a,b]上的定积分 积分公式的数值精度 定义7.2 面积公式的精度为正整数n，n使得对所有次数i≤n的多项式Pi(x)，都满足E[Pi]=0，而对某些次数为n+1的多项式Pn+1(x)有E[Pn+1] ≠0 基于多项式插值的面积公式 通过M+1个等距点 存在唯一的次数小于等于M的多项式PM(x)。当用该多项式来近似[a,b]上的f (x)时，PM(x)的积分就近似等于f (x)的积分，这类公式称为牛顿－科特斯公式。当使用采样点x0=a和xM=b时，称为闭型牛顿－科特斯公式 闭型牛顿－科特斯面积公式 利用N－C公式求数值积分 N－C公式的精度 步长的选择 因为各个公式所需节点个数不同，如果固定求积区间[a,b]的端点，则对不同公式要采用不同的步长。梯形公式、辛普森公式、辛普森3/8公式和布尔公式的步长分别为h=b-a,h=(b-a)/2,h=(b-a)/3和h=(b-a)/4 公式的比较 为对面积公式进行公平的比较，必须在每种方法中进行相同次数的函数求值 对上例中的梯形公式、辛普森公式和布尔公式，每种方法都要在给定区间[0,1]上进行5次函数求值。对梯形公式而言，则要在4个子区间[x0,x1], [x1,x2], [x2,x3]和[x3,x4]上使用，称之为组合梯形公式；同理，在两个子区间[x0,x2]和[x2,x4]上应用辛普森公式，称之为组合辛普森公式 组合公式 验证面积公式的精度 面积公式的定义中没指定积分区间 一切次数i≤n的多项式Pi(x)都可用函数族{1,x,x2,x3,…,xn}的线性组合来表示 可以在任意容易计算定积分的区间上计算各个次数 i 不高于n的幂函数xi的定积分，并与面积公式求得的结果相比较，从而确定面积公式的精度 组合面积公式 理论数学中，曲线y=f (x)在区间[a,b]上的定积分的几何意义是该区间中曲线下的面积 求定积分的思想：分割－求和－求极限 组合面积公式：求区间[a,b]上曲线y=f (x)下面积的方法是用区间{[xk,xk+1]},k=0,1,…上的一系列曲边梯形的面积来逼近 用“有限”来逼近“无限” 组合梯形公式 定理7.2 设等距节点xk=a+kh,k=0,1,…,M将区间[a,b]划分为宽度为h=(b-a)/M的M个子区间[xk,xk+1]。M个子区间的组合梯形公式有3种等价表示方法： 组合梯形公式（续1） 组合梯形公式（续2） 计算积分 组合辛普森公式 定理7.3 设等距节点xk=a+kh,k=0,1,…,2M将区间[a,b]划分为宽度为h=(b-a)/(2M)的2M个等距子区间[xk,xk+1]。M个子区间[xk,xk+2]上的组合辛普森公式有3种等价表示方法： 组合辛普森公式（续1） 组合辛普森公式（续2） 组合辛普森公式（续3） 计算积分 n = 2, h = 2 n = 4, h = 1 组合面积公式的误差分析 组合梯形公式和组合辛普森公式的误差项 当步长h趋向零时，哪个公式的误差更快地收敛到零 当f(x)的导数已知时，如何利用误差项估计为得到给定精度的近似所需的子区间数 梯形公式的误差分析 推论7.2 设区间[a, b]划分为宽度为h=(b-a)/M的M个子区间[xk, xk+1], 组合梯形公式 辛普森公式的误差分析 推论7.3 设区间[a, b]划分为宽度为h=(b-a)/(2M)的2M个等宽子区间[xk, xk+1], 组合辛普森公式 利用误差阶确定区间划分个数 数值积分精度与函数求值、区间划分的关系 从各阶闭型N－C公式来看，函数求值的次数越多，则逼近的精度越高 但从理论上可证明M≥8的N－C公式不稳定，不能用来求解积分近似值 从组合梯形公式和组合辛普森公式计算的积分近似值来看，划分的子区间数越多，则逼近的精度越高 但从例7.9、7.10可发现，仅仅通过区间划分的方法提高精度的速度很慢 区间的划分方法 假如采用划分子区间的方式来提高精度。如何选择子区间的数目？ 采用二分区间的方法：开始时是一个区间，对分成2个子区间，再将2个子区间各自二分得到4个子区间，…，不断试验直至得到想要的精度 这个过程生成一个梯形公式的序列{T(J)} 连续梯形公式 定理7.4 设J≥1，点{xk=a+kh}将[a,b]划分为2J=2M个宽度为(b-a)/2J的子区间。梯形