模糊集理论及其应用第二章.ppt

模糊集理论及其应用 第二章 模糊映射与模糊数 第二章 模糊映射与模糊数 2.1 一元模糊映射及其性质( P3~11) 2.2 多元模糊映射及其性质( P12~17) 2.3 模糊数及其运算( P18~29) §2.1 一元模糊映射及其性质 2.1.1 一元经典扩展原理 定义2.1.1 设U, V 为两个论域,则由映射 f :U→V 可诱导出如下两个集值映射 (i) f :P(U)→ P(V) A → f(A)= { f(u)∣u? A}. 用特征值表示,有 ? f(A) (v) = ∨f(u) = v ?A (u) , v? V . (2-1-1) (ii) f -1 :P(V)→ P(U) B → f -1 (B)= {u?U∣f(u)?B }. 用特征函数表示 ,有 ? f -1 (B) (u) = ?B (f(u) ) , u? U . (2-1-2) 我们称由(2-1-1)确定的集值映射 f 和由(2-1-2)确定的集值映射 f -1 为普通映射 f :U→V 的经典诱导映射;而称式(2-1-1) 和式(2-1-2)为一元经典扩展原理;称 f(A) 为A在 f 下的像,而 f -1 (B) 称为 B 在 f 下的原像, 如下图所示 例2.1.1 设U=V =(－∞,＋∞),映射 f : U→V u → f(u)= sin u . A=[-1,1] ? P(U) , B =[ 0,1] ? P(V) , 则由式(2-1-1) 得 f (A) = f ( [-1,1] )= [- sin 1, sin 1] 而由式 (2-1-2) f -1 (B)= f -1 ([ 0,1] )= [2nπ, (2n+1/2)π] , ( n = 0, ±1, ±2, …) 2.1.2 一元模糊扩展原理 定义2.1.2 设U, V 为两个论域, f :U→V 为普通映射，则由 f 可诱导出如下两个模糊映射： (i) f :F(U)→ F(V) A → f(A) 其中? v? V ，有 例2.1.2 设U ={u1,u2, u3,u4, u5}, V = {a, b, c,d}, 映射 f : U→V 定义为 (1) 当 u ?{u1, u3}时, f(u)= a ; (2) 当 u ?{u2, u4, u5}时, f(u)= c; 又设 A=(0.9, 0.3, 0.8, 0.6, 0.7) ? F(U) , 试求B= f (A) , f -1 (B). 所以 f -1 (B)= (0.9, 0.7, 0.9, 0.7, 0.7). 由此可见, A ? f -1 (f (A)). 此结论对于任一模糊映射都成立,即 定理2.1.1 设f :F(U)→ F(V) 为模糊映射,则 (1) A ? f -1 (f (A)),且 f 为单射时,等号成立; (2) f (f -1 (B))?B ,且 f 为满射时,等号成立. 定理2.1.3 (扩展原理Ⅱ) 设U, V为两个论域, f 和 f -1 为由f :U→V诱导的模糊映射, A∈F(U), B∈F(V),则 (1) f (A) = ∪? ?[ 0,1 ] ? f (As?); (2) f -1(B) = ∪? ?[ 0,1 ] ? f -1( Bs?). 2.1.3 模糊映射的基本性质 定理2.1.5 设f :F(U)→F(V) 为模糊映射 , {At | t∈T }?F(U), 则 (1) f (∪t∈T At ) = ∪t∈T f (At ) ; (2) 若A, B ∈F(U)且A ? B, 则 f (A)? f (B) ; (3) f (? ) = ? ; (