第2课时24.1.2垂直于弦的直径.ppt

. . 第2课时 24.1.2 垂直于弦的直径 学习难点：熟练运用垂径定理及推论进行相关的推理或计算. 学习重点：垂径定理及其运用. 2.通过折叠等方法理解圆是轴对称图形，从而进一步理解垂径定理及其推论. 1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理及其推论 学习目标 3.能运用垂径定理及其推论进行计算和证明． 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 问题 ：你知道赵州桥吗?它是1400多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ R D O A B C 37m 7.23m 例.1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 探究 · O . . · M O D C A′ A ∟ 证明：设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意一点.过点A作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M，连接OA、OA′. 在△OAA′中， ∵ OA=OA′ ∴ △OAA′是等腰三角形 又 AA′⊥CD ∴ AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A′,因此⊙O关于直线CD对称.即 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． · O A B C D E （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE AC = BC ︵ ︵ AD = BD ︵ ︵ 2.如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 垂经定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 用数学符号语言表示如下 进一步，我们还可以得到推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． · O C D A B E CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE AC = BC ︵ ︵ AD = BD ︵ ︵ 判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 　②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必 垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦,必平分此弦所对的弧 是 不是 是 不是 O E D C A B 下列图形是否具备垂径定理的条件 垂径定理的几个基本图形 CD过圆心 CD⊥AB于E AE=BE AC= BC AD= BD 解得：R≈27．3（m） B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R2=18.52+（R－7.23）2 ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m. OA2=AD2+OD2 由题设可知 AB=37m,CD=7.23m OD=OC-CD=R-7.23 解：如图用 ＡＢ 表示主桥拱，设 ＡＢ所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据垂经定理，D 是AB 的中点，C是ＡＢ 的中点，CD 就是拱高． ⌒ ⌒ ⌒ 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径． · 课堂练习 解：过点O作OE⊥AB于点E. 连接OA, 答：⊙O的半径为5cm. 在Rt △ AOE 中 A B O E AO2=OE2+AE2 2.已知:如图,直径CD⊥AB,垂足为E .⑴若 半径R = 2,AB = , 求OE、DE 的长. 3．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠A=22.5°，OC=4， 则CD的长为______ ● O E D C B A ● O E D C B A ∟ ⑶由⑴ 、⑵两题的启发你还能编出什么其他问题？ ⑵若半径R = 2,OE = 1,求AB、DE 的长. 提示：过圆心作垂线是圆中常用辅助线 4,如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB于D，OE⊥ AC于E,求证四边形ADOE是正方形． ∴四边形ADOE为矩形， 又∵ AC=AB ∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形. 证明： ∵OE⊥AC,OD⊥AB,A