31直接跃迁的速率和选择定则.DOC

第三章 理想晶体带间光跃迁 ：电子体系+声子体系 体系：体系辐射场 -速率和选择定则 没有声子参与的光跃迁 跃迁初末态就不必标记其 声子状态 跃迁到 跃迁速率： （3.1-1） 在一级近似下（单光子跃迁）的电子体系）近似为： 对现在的单光子跃迁, 为相关光场模式)矢势1.2-7），（1.2-9（1.2-10一阶微扰)电子态 间的矩阵元平方决定 初末电子态 ： 绝热近似，单电子近似和能带近似 → 理想晶体电子态的能带图像 晶体中电子体系的状态可用电子在各个单电子态中的分布情况（即：电子组态）直接）的： （3.1-3） 其中右边求和式中的每一项都只与某一个电子的坐标有关，其形式不随而变 (( 算符对电子的交换是对称的 下面我们先讨论算符的矩阵元的性质，然后由此推断出几个跃迁选择定则。 一.单电子算符在行列式波函数间的矩阵元 设跃迁初末态的波函数为如下的行列式波函数： （3.1-4） （3.1-5） 其中为由N个正交归一的单电子波函数 构成的行列式。 也类似。 （3.1-6） 令算符代表电子对换的操作， 由行列式的性质可知 （3.1-7） （3.1-8） 因而有 （3.1-9） 而符号的交换 ，不改变矩阵元的值，即 （3.1-10） 可得 即：的矩阵元与电子标号无关。于是 （3.1-11） 引进波函数行列式的元素的代数余子式→去掉中的i行，j列后余下的N(1阶行列式乘以 于是可以将用展开，如果取，展开式如下 （3.1-12） 类似的， -13） 相应地，矩阵元可表示为 （3.1-14） 其中，为波函数行列式和的标积 注意：波函数行列式的展开式是单电子波函数的乘积波函数之代数和，波函数行列式间的标积，就是一系列乘积波函数间的标积之和。 由于单电子波函数是彼此正交归一的，因而，仅当两个乘积波函数的各相应单电子波函数都相同，它们的标积等于1，其它情形都为零。 这就是说，矩阵元的值与初末态的电子组态，即其中包含的单电子态，直接相关 下面分三种情形进行讨论，从中可以引出若干基本的选择定则 （为方便起见，的讨论，态包含的 相同单电子波函数的序号相同和是同一状态， 即二者相应的单电子波函数都相同，。 这时 （3.1-15） 2. 与 中，对应的单电子波函数中，只有一个不同(设为)，即，除 在这情形 ， 于是 （3.1-16） 矩阵元等于初末态中不相同的那个单电子态间的单电子矩阵元 3. 与 的单电子波函数中有一个以上不同 和二者中至少有一个单电子波函数不同，因而它们的标积，即 （3.1-17） 选择定则： 对带间，电子系两个状态间的直接光跃迁速率正比于下面的跃迁矩阵元的平方 矩阵元几个.跃迁的初末电子态和的电子组态 只差一个 单电子态,否则。 也就是说，对一级过程（通常也是最重要的过程）光跃迁，晶体初末电子态（组态）的）初末态电子自旋不变，自旋为的状态， 末态为带C中波矢，自旋的状态 。 单电子带间直接单光子跃迁矩阵元可表示为 （3.1-18） 上式表明单电子跃迁中电子自旋守恒 这实际上是由于所作的近似下，没有考虑电子轨道运动与自旋，辐射场与电子自旋间的相互作用，因而不会影响到电子的自旋状态。 3.准动量守恒 如上式3.1-18）所示 跃迁速率的 在理想晶体中,电子态由布洛赫函数描述 （3.1-19） （3.1-20） 算符作用在布洛赫函数上，得到下面的结果 （3.1-21） 于是， （3.1-22） 上式对整个晶体空间积分。可以写成对每个原胞的积分之和 （3.1-23） 其中，对各原胞的积分，由于波函数的平移对称性，对不同原胞都相等，即 （3.1-24） 也由于晶体的平移对称性，求和（3.1-23） （3.1-25） 其中为晶体的任一倒格矢，为光场的波矢，和分别为跃迁前后电子的布洛赫波矢。因波矢与动量的比例关系，这一条件常称为 准动量守恒。 考虑到光子波数 ，而电子的波数为布里渊区大小的量级，即 ，为晶格常数。可见光子波数比电子波数的取值范围小得多。即准动量守恒可近似表示成：。如果和都限制在第一布里渊区,则只能为零，因此有，即跃迁前后电子的布洛赫波矢几乎相等，在波矢空间的能带图上，这样的跃迁是竖直