高中数学复习学(教)案(第4讲)函数的概念与表示.doc

题目 第二章函数函数的概念与表示 高考要求 1．了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解； 2．能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数； 3．理解分段函数的意义．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础． 4 克服函数就是解析式的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导． 函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义，会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题． 函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂． 函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．函数的定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中x叫做自变量x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域 2两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数 3映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B 由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集 4映射的概念中象、原象的理解：(1) A中每一个元素都有象;(2)B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；(3)A中每一个元素的象唯一 5．分段函数：（举一例） 6．复合函数：若y=f(u),u=g(x),x((a,b),u((m,n),那么y=f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域 题型讲解 例1设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ） A8个 12个 16个 18个 解：∵为奇数，∴当为奇数、时，它们在中的象只能为偶数、或，由分步计数原理和对应方法有种；而当时，它在中的象为奇数或，共有种对应方法．故映射的个数是．故选D 例2 集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A到B的映射个数是__________，从B到A的映射个数是__________ 解：从A到B可分两步进行：第一步A中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A中的元素4也有这3种对应方法由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9反之从B到A，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射 答案：9 8 例3 A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有（ ） A27 B9 C21 D12 解：（1）当全是等号时，（即与B中的一个元素对应），则f有C个; （2）有一个不等号时的映射（即与B中的两个元素对应），f有C·C=12个; （3）有二个不等号的映射，f有C·C=6个 所以共有3+12+6=21个，答案选C 另一种解释法：将元素1，2，3，4，5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点 若只有一个象就让这一串整体对应有C＝3种方法； 若恰有两个象就将这一串分为两段，并按照大小顺序对应，有C·C＝12种方法； 若恰有三个象就将这一串分为三段，并按照大小顺序对应，有C·C＝6种方法 根据分类计数原理，共有3+12+6=21个映射故选C 例4 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f（x）=，g（x）=； （2）f（x）=，g（x）= （3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）； （4）f（x）=，g（x）=； （5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1 剖析