高教版数学教案——直线方程的一般形式.doc

直线方程的一般形式 一、教学目标 ()知识教学点 掌握直线方程的一般形式，能用定比分点公式设点后求定比． ()能力训练点 通过研究直线的一般方程与直线之间的对应关系，进一步强化学生的对应概念；通过对几个典型例题的研究，培养学生灵活运用知识、简化运算的能力． ()学科渗透点 通过对直线方程的几种形式的特点的分析，培养学生看问题一分为二的辩证唯物主义观点． 二、教材分析 1 2．难点：与重点相同． 3．疑点：直线与二元一次方程是一对多的关系．同条直线对应的多个二元一次方程是同解方程． 　 三、活动设计 分析、启发、讲练结合． 四、教学过程 ()引入新课 点斜式、斜截式不能表示与xx轴垂直的直线可表示成x=x0，与x轴平行的直线可表示成y=y0。它们都是二元一次方程． 我们问：直线的方程都可以写成二元一次方程吗？反过来，二元一次方程都表示直线吗？ ()直线方程的一般形式 我们知道，在直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角α．当α≠90 y=kx+b 当α=90x=x0的形式． 由于是在坐标平面上讨论问题，上面两种情形得到的方程均可以看成是二元一次方程．这样，对于每一条直线都可以求得它的一个二元一次方程，就是说，直线的方程都可以写成关于xy的一次方程． 反过来，对于xy的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1) 其中AB不同时为零． (1)当B≠0时，方程(1)可化为 这里，我们借用了前一课y=kx+b (2)当B=0时，由于A、B不同时为零，必有A≠0，方程(1)可化为 它表示一条与y 这样，我们又有：关于xy的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为 Ax+By+C=0 这个方程(A、B不全为零)叫做直线方程的一般式． 引导学生思考：直线与二元一次方程的对应是什么样的对应？ 直线与二元一次方程是一对多的，同一条直线对应的多个二元一次方程是同解方程． ()例题 解：直线的点斜式是 化成一般式得 4x+3y-12=0 把常数次移到等号右边，再把方程两边都除以12 讲解这个例题时，要顺便解决好下面几个问题：(1)(2)直线方程的一般式也是不唯一的，因为方程的两边同乘以一个非零常数后得到的方程与原方程同解，一般方程可作为最终结果保留，但须化为各系数既无公约数也不是分数；(3)直线方程的斜截式与截距式如果存在的话是唯一的，如无特别要求，可作为最终结果保留． 例2　 l的方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率和在x轴与y轴上的截距，并画图． 解：将原方程移项，得2y=x+62得斜截式： x=-6 根据直线过点A(-60)、B(0，3)，在平面内作出这两点连直线就是所要作的图形(图1-28)． 本例题由学生完成，老师讲清下面的问题：二元一次方程的图形是直线，一条直线可由其方向和它上面的一点确定，也可由直线上的两点确定，利用前一点作图比较麻烦，通常我们是找出直线在两轴上的截距，然后在两轴上找出相应的点连线． 例3　 A(1，3)、B(5，7)、C(10，12)在同一条直线上． 证法一　 AB的方程是： 化简得　 y=x+2 将点C ∴A、B、C三点共线． ∴A、B、C三点共线． ∵|AB|+|BC|=|AC|， ∴A、C、C三点共线． 讲解本例题可开拓学生思路，培养学生灵活运用知识解决问题的能力． 例4　 x+2y-10=0与过A(1，3)、　 B(52)的直线相交于C， 此题按常规解题思路可先用两点式求出ABC的坐标，再求点C分AB所成的定比，计算量大了一些．如果先用定比分点公式设出点C的坐标(即满足点C在直线AB上)，然后代入已知的直线方程求λ，则计算量要小得多． 代入x+2y-10=0 解之得　 =-3． (四)课后小结 (1)归纳直线方程的五种形式及其特点． (2)例4一般化：求过两点的直线与已知直线(或由线)的交点分以这两点为端点的有向线段所成定比时，可用定比分点公式设出交点的坐标，代入已知直线(或曲线)求得． 五、布置作业 1(1．6练习第1题)由下列条件，写出直线的方程，并化成一般式： (2)经过点B(4，2)，平行于x轴； (5)经过两点P1(3，-2)、P2(5，-4)； (6)x轴上的截距是-7，倾斜角是45°． 解：(1)x+2y-4=0　 (2)y-2=0；　 (3)2x+1=0； (4)2x-y-3=0；　 (5)x+y-1=0；　 (6)x-y+7=0． 3．(习题二第8题)一条直线和y轴相交于点P(0，2)，它的倾斜角 4．(习题二第十三题)求过点P(2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程． 5．(习题二第16题)设点P(x0，y0)在直线As+By+C=0上，求证：这条直线的方程可以写成A(x-x0)+B(y-y0)