高教版数学教案——等差数列与等比数列的应用.doc

等差数列与等比数列的应用 教学目标：1.使学生了解等差数列和等比数列在社会生活中有广泛的应用，并能解有关简单应用题. 2.复习巩固等差数列、等比数列的有关知识，加深对等差数列、等比数列概念的理解.3.培养学生分析问题，解决问题的能力，应用数学的意识和理论与实际关系的科学观点. 教学重点：等差数列与等比数列的应用. 教学难点：将实际问题化归为等差、等比数列的问题.? 教学方法：启发式讲解法. 教学过程：一、复习提问1.等差数列的定义，通项公式，前项和公式？2.等比数列的定义，通项公式，前项和公式？二、新课导入 我们学习了等差数列和等比数列这两个重要数列，它们在社会生产生活中有广泛应用，今天我们就以举例的形式来说明它们的应用. 三、新课教学 下面我们来看几个例子. ? ? 例1 (教材中的例2)某林场计划造林5，以后每年比上一年多造林3，问20年后林场共造林多少公顷？ ? ? 例2 某林场计划第1年造林80，以后每一年比前一年多造林20%，第5年造要多少公顷？将例1，例2同时并排列在黑板上，引起学生对比思考.分析：先看例1，由“每年比上一年多造林3”可以得出第2年造林减去第1年造林数与第3年造林数减去第2年造林数，…都等于3，也就是这20年各年的造林数依次排出来，成一个公差为3的等差数列，于是＝5，＝3，＝20，求20年后共造林，则为求. ? ? 再看例2，由“每一年比前一年多造林20%，可以得出第2年比前一年多造林数为80，第2年实际造林数为80(1＋ )，第3年又比第2年多 ，即多80(1＋ )· ，第3年实际为80(1＋ )，由此可知，将每年造林数依此排出来是一个公比为1＋的等比数列，求的是第5年造林数，显然是求第5项. ? ? 下面我们在练习本上自己写出解题过程.然后教师出示正确答案： ? ? 例1： 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等差数列｛｝，其中＝5，＝3，＝20.? ＝20×5＋＝670. ? ? 答：20年后林场造林670. ? ? 例2：? 解：依题意，林场每年造林的公顷数成等比数列｛｝，其中＝80，＝1＋ ，＝5. ? ? ＝80×(1＋ ) ＝80×1.2＝165.888. ? ? 答：第5年造林165.888. ? ? 大家对比这两道例题，思考：1.如何确定一道题是应用等差数列还是等比数列？ ? ? 2. 怎样判定是求还是? ? ? 积累一下经验.? ? 出示例3、例4、方式同例1、例2.? ? 例3 某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降低到58元，这种产品平均每次降价的百分率大约是多少？ ? ? 例4 某种细菌在培养过程中，每30 分裂一次(一个分裂为两个)，经过4 h，这种细菌可繁殖多少个？ ? ? 分析：看例3，“三次降价，原来单价为174，后来为58”将这几次的价钱排出来为178，，，58.才是三次降价.因而＝58，＝178，由求“平均每次降价的百分率”知是比例问题，设其为，则有比178少178，即为178－178＝178(1－)，同样又是的(１－)倍，可见“后项比前项”为(１－)，即此题为等比数列.＝58，又＝178(1－). ? ? 看例4，由“一个分列为两个”知原来的那个细菌已不存在，若将一次次分裂后的细菌数排出来，则为 ? ? 原? ?30 ? ? 30 ? ? 30 ? … 30 … ? ? ? ? 1? ? ? ? 2? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? 8 ? ? ? ? ? … ? ? ? ? 4 h有多少个30 ，4×60＝240 240÷30＝8. ? ? 下面同学们在练习本上作出这两题，教师给出正确解答： ? ? 例3： 解：设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的(1－)倍.这样，将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个等比数列，记为｛｝，其中 ? ? ? ? ? ? ＝174，＝58，＝4，＝1－， 0＝. ? ? 由等比数列的通项公式，得 58＝174(1－). ? ? 整理，得? ， ? ? (1－)＝≈0.693. ? ? 因此，? ? ? ? ≈1－0.693≈31%. ? ? 答：即上述电子产品平均每次降价的百分率大约是31%. ? ? 例4：解：细菌分裂一次，一个分裂成两个，即公比＝2，4h＝8×30 ，所以分裂8次，将每次分裂后的细菌数依次排成数列为等比数列，＝2，＝1，分裂8次后的细菌数为，＝9 所以? ? ＝＝＝256(个) ? ? 答：经过4 h，这种细菌可繁殖256个.由这个两个例子的分析和解答，思考： 1. 怎样确定? ? ? 2. 怎样确定是求还是？如果例4换成一只兔子一个月可繁殖2个，经过半年地繁殖成多少个？那么是求，还是求? ? ? 四、课堂小结： ? ? 今天我们学习了等差数