高教版数学教案——等比数列及其通项公式.doc

等比数列及其通项公式 ? ? 教学目标： ? ? 1.通过教学使学生理解等比数列的概念，理解其通项公式的推导过程. ? ? 2.掌握等比数列的通项公式，并会用公式解简单的问题. ? ? 3.理解等比中项的概念. ? ? 4.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力. ? ? 教学重点：等比数列的定义和通项公式.? ? 教学难点：通项公式的应用. ? ? 教学方法：启发讲授法. 教学过程： 一、复习提问 ?什么样的数列叫等差数列？等差数列{}的通项公式是什么？指出公式中各字母的含义. 二、引入新课 ? ? 判断下面两个数列是不是等差数列，并说明理由， 2、4、6、8、10、12、… (1) 2、4、8、16、32、64、… (2) ? ? 让学生观察、分析、归纳、判断. ? ? 可以得出数列(1)是等差数列，理由是数列(1)从第2项起每一项与它的前一项之差都等于2，即等于同一个常数，根据定义，它是等差数列，且公差＝2. ? ? 数列(2)不是等差数列.理由是它不符合等差数列的定义，例如，第2项减第1项得2，但第3项减第2项则差是4，不相等. ? ? 再引导学生观察数列(2)，从第2项起每一项与它前一项的差不等于同一常数，再看一看与它前一项的比有什么特点？(让学生试验、探索)学生会发现，这个数列从第2项起每一项与它前面一项的比都等于同一个常数2，教师指出这样的数列就是我们今天要研究的等比数列. 三、讲授新课1.等比数列的定义? ? 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示，例如上面所说的公式(2)就是等比数列，公比＝2. 2.通项公式? ? 我们知道等差数列{}，公差为，则它的通项公式为＝＋(－1)，那么等比数列呢？ ?设等比数列{}，公比为，则根据定义有 ? ? ＝，即＝， ? ? ＝，＝＝()＝， ? ? ＝＝()＝. ? ? (要注意引导学生观察项的序号与的指数的关系，让学生往下推想( )内由学生填数，然后总结出通项公式.) ? ? …… ? ? ? ?由此可知，等比数列{}的通项公式是 ? ? ? ? ＝. ? ? 大家看，这个公式是从开始推导的，当＝1时，左边为，右边为·＝.说明这个公式对时都成立，这 里与均不为０. ? ? 例如，数列(2)的通项公式为，(＝2，＝2).可见只要知道和就能写出等比数列的通项公式，有了通项公式就可求它的任一个指定项.例如我们求数列(2)的第5项，. ? ? 3.例题 ? ? 例1 求等比数列的第10项. ? ? 分析：用通项公式即可求出第10项，有和公比就可求出通项公式，需先求公比. ? ? ? ? 例2 一个等比数比数列的第3项与第4项分别是12和18，求它的第1项与第2项. ? ? 分析：已知＝12，＝18，设和公比，用和可得关于和的二元方程组，解得和便可求该数列的任一指定项. ? ? 解：设这个数列的第1项是，公比是，则 ? ? ? ? 得代入(1)得 ? ? ? ? 这个数列的第1项是，第2项是8. ? ? 解法2：根据定义÷＝，，根据通项公式＝，所以＝，将，＝12代入，得.即这个数列的第1项是，第2项是8. ? ? 这两种解法各有特点，但用第一种方法更具普遍性，它对已知等比数列的任意两项都可用，方法2则用了和是相邻两项的特点. ? ? 4.在等差数列里学过等差中项，和的等差中项等于什么？ ? ? 提问学生，并可用和的算术平均数一起作对比复习. ? ? 、的等差中项是，即在、中间插入一个数，使、、成等差数列，则叫、的等差中项.对于等比数列如何呢？ ? ? 如果在2与8中间插入一个数4，那么这三个数成等比数列. ? ? 一般地，如果在与中间插入一个数，使，，成等比数列，则叫做与的等比中项.例如上面例子中，4叫2和8的等比中项. ? ? 如果是与的等比中项，那么，即 ? ? ? ? ? ? 和等差数列类似，一个等比数列从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)是它的前一项与后一项的等比中项. ? ?例3 求(1)与? ?(2) 的等比中项. ? ? 解：(1)由定义 ? ? ? ? ；? ? (2). ? ? 注意：两个数的等差中项只有一个；而两个数的等比中项有两个，这两个数互为相反数，且两数必须同号才有等比中项. 四、课堂练习 ? ? 练习第144页，五、课堂小结 ? ? 1.等比数列的定义与等差数列定义的区别是什么？ ? ? 2.等比数列的通项公式反映的是几个量之间的关系？要确定一个等比数列的通项公式，关键是哪两个量？ ? ? 3.等比中项是怎样定义的？两个数的等比中项有几个？ ? ? 六、课外作业 ? ? 1.复习作业：复习课文5.3.1等比数列的概念. ? ? 2.书面作业： ? ?