高教版数学教案——等差数列的前n项和.doc

等差数列的前项和 ? ? 教学目标： ? ? 1.理解等差数列的前项和公式的推导过程. ? ? 2.掌握等差数列的前项和公式，并会用公式解决简单问题. ? ? 3.培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力. ? ? 教学重点：等差数列的前项和的公式. ? ? 教学难点：等差数列的前项和公式的推导. ? ? 教学方法：启发式讲授法. ? ? 教学过程： ? ? 一、复习提问 ? ? 1.什么叫等差数列？它的通项公式是什么？ ? ? 2.等差数列，＋，＋2，…，＋(－1)＝，能否表示成，－，－2，…，－(－1). ? ? 3.2和10的等差中项是多少？ ? ? 二、引入新课 ? ? 上节课我们学习了等差数列的通项公式，知道了一个数列的通项公式，想求它的哪一项，都只需将该项的序号代入公式就可求出该项.并且知道＝＋(－1)中，四个量，，和，只要知道其中的3个就能求出第4个.但是如果要求数列1，2，3，4，5，…的前100项和这样的问题，通项公式解决不了，今天我们就来学习等差数列的前项和的问题. ? ? 三、讲授新课 ? ? 1.已知等差数列，，，…，，…的前项的和记作，即 ? ? ? ? ＝＋＋…＋. ? ? 例如，正整数数列1，2，3，…，，…的前100项的和，记作＝1＋2＋3＋…＋100. ? ? 2.怎样求等差数列前项和？? 看例子. ? ? 求＝1＋2＋3＋…＋100. ? ? 对于这个问题，著名数学家高斯10岁时曾很快求出它的结果.你知道这个故事吗？他是如何计算的呢？ ? ? 高斯的算法是： ? ? 首项与末项的和：1＋100＝101， ? ? 第2项与倒数第2项的和2＋99＝101， ? ? 第3项与倒数第3项的和3＋98＝101， ? ? … ? ? ? ?第50项和倒数第50项的和：50＋51＝101， ? ? 于是所求的和是. ? ? 这个问题是求等差数列1，2，3，…，，…的前100项的和的问题.在上面的求解中，我们发现所求和可用首项、末项及项数来表示，且任意的第项与倒数第项之和都等于首项与末项的和，这就启发我们怎样去求一般等差数列的前项的和. ? ? 设等差数列{}的前项和为，即 ? ? ? ? ＝＋＋…＋. ? ? 根据通项公式上式可写成 ? ? ? ? ＝＋(＋)＋…＋[＋(－1)].① ? ? ? ?由于＝－，＝－2，…，＝－(－1)， ? ? 所以 ＝＋(＋)＋…＋[＋(－1)].② ? ? ? ?(提问学生怎样想到的.) ? ? 把①、②两边分别相加，得 ? ? ? ? ? ? 由此得到等差数列{}的前项和公式 ? ? ? ? . ? ? 用语言叙述就是：等差数列的前项和等于首末项的和与项数乘积的一半. ? ? 如果高斯的同学都知道这个公式，高斯的计算就不会最快了，你说是吗？用公式可得 ? ? 1＋2＋3＋…＋100＝＝5 050. ? ? 用这个公式需要已知等差数列的首项和末项(第项)以及项数.如果知道首项、公差和项数可以用下面的公式： ? ? 把通项公式＝＋(－1)代入， ? ? 得 ? ? ? ? . ? ? 这也是等差数列前项和的公式.显然当知道项，公差和项数时，用后一个公式最直接. ? ? 3.例题. ? ? 例7 如图10－1所示，一个堆放铅笔的V型架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放多少支铅笔？ ? ? ? ? ? ? 分析：由“往上每一层都比它下面一层多放1支”，得每一层所放铅笔的支数为等差数列，且公差＝1，＝1，＝120，＝120，是求的问题. ? ? 解：由题意可知这120层铅笔数或等差数列，且公差＝1，＝1，＝120.代入前项和公式得 ? ? ? ? ， ? ? 即V形架上共放着7 260支铅笔. ? ? 例8 在小于100的正整数集合中，有多少个数是7的倍数？并求它们的和. ? ? 分析：100以内是7的倍数最小的一个是7，依次排出成等差数列，公差是7，最大的那一个可以通过作除法求得，即100÷7＝7×14＋2.所以最大那一个7的倍数是98，即＝98.由此也可知＝14. ? ? 解：在小于100的正整数中，7是7的倍数中最小的一个.由于100÷7＝7×14＋2，可知最大的那一个是14×7＝8.将这些数由小到大排列，成等差数列公差为7，＝7，＝98，个数为14. ? ? ? ? ， ? ? 即在小于100的正整数和集合中，有14个数是7的倍数，它们的和等于735. 四、课堂练习 ? ? 练习：教材第页 五、课堂小结 ? ? (1)等差数列前n项和的公式 ? ? ? ? (1)； ? ? ? ? (2). ? ? (2)思考在什么情况下用两个公式中的哪一个为好？(这一点让学生总结分析.) ? ? 六、课外作业 ? ?