高教版数学教案——组合.doc

组 合 一、: 理解组合的意义,掌握组合数的计算公式和性质,并能用它解决一些简单的问题. 二、知识要点: 一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示. 组合数公式:,其中,且m≤n. 组合数公式还可以写成:. 组合数的两个性质:;. 三、典型例题: 例1100件产品中有合格品90件,次品10件,现从中抽取4件检查. ⑴ 都不是次品的取法有多少种？ ⑵ 至少有1件次品的取法有多少种？ ⑶ 不都是次品的取法有多少种？ 解: ⑴ ; ⑵ ; ⑶ . 例2从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法？ 解:分为三类:1奇4偶有 ;3奇2偶有;5奇1偶有 所以一共有++. 例3现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作;有4名青年能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？ 解:我们可以分为三类: ① 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有; ② 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有; ③ 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有. 所以一共有++＝42种方法. 例4甲、乙、丙三人值周,从周一至周六,每人值两天,但甲不值周一,乙不值周六,问可以排出多少种不同的值周表 ？ 解法一:(排除法) 解法二:分为两类:一类为甲不值周一,也不值周六,有;另一类为甲不值周一,但值周六,有.所以一共有+＝42种方法. 例56本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？ 解:第一步从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有种方法;第二步将5个“不同元素(书)”分给5个人有种方法.根据分步计数原理,一共有＝1800种方法. 变题1:6本不同的书全部送给5人,有多少种不同的送书方法？ 变题2: 5本不同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 变题3: 5本相同的书全部送给6人,每人至多1本,有多少种不同的送书方法？ 答案:1.; 2.; 3.. 例身高互不相同的7名运动员站成一排,甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？ 解:(插空法)现将其余4个同学进行全排列一共有种方法,再将甲、乙、丙三名同学插入5个空位置中(但无需要进行排列)有种方法.根据分步计数原理,一共有＝240种方法. 例⑴ 四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共有多少种不同的放法？ ⑵ 四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？解: ⑴根据分步计数原理:一共有种方法. ⑵(捆绑法)第一步从四个不同的小球中任取两个“捆绑”在一起看成一个元素有种方法,第二步从四个不同的盒取其中的三个将球放入有种方法.所以一共有＝144种方法. 四、归纳小结: 如果两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,它们是相同的组合;只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合. 五、基础知识训练: (一)选择题: (1)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个和? (2)从1,2,3三个数字中任取两个,可以组成多少个没有重复数字的两位数? (3)将3个乒乓球投入5个容器,每个容器只能容纳一个乒乓球,问有多少种投法? (4)将3张编号的电影票给三个同学,每人一张,有多少种分法? 属于组合问题的是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 从10名同学中选出3名代表,所有可能的不同选法种数是( ) A.120 B.240 C.720 D.30 (2000-13)凸10边形共有对角线( ) A.90条 B.70条 C.45条 D.35条 某班有50名学生,其中有一名正班长,一名副班长,现选派5人参加一个游览活动,其中至少有一名班长(正、副均可)参加,共有几种不同的选法,其中错误的一个是( ) A.n=·+· B. n=- C. n=· D.n=·- 从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打,不同的组队种数有( )