高教版数学教案——组合的简单应用及组合数的两个性质.doc

组合的简单应用及组合数的两个性质 教学目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题． 教学过程： 一、复习回顾： 1．复习排列和组合的有关内容： 定 义 特 点 相同×× 公 式 排 列 组 合 强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一： 练习1：求证：． （本式也可变形为：） 练习2：计算：① 和； ② 与；③ 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二： ⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点有10个点，以其中每2个点为端点 （组合问题） ⑵（排列问题） 二、新授： 1．组合数的 性质1：． 理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ( m个元素．因 为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ( m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ( m个元素的组合数，即：．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想． 证明：∵ 又 ∴ 注：1( 我们规定 2( 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标． 3( 此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化． 例如：＝＝=2002． 4( 或 2．示例一：（课本101例4）一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． ⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ ⑶ 从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：⑴ ⑵ ⑶ 引导学生发现：．为什么呢？ 我们可以这样解释：从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素，一类不含有．含有的组合是从这n个元素中取出m (1个元素与组成的，共有个；不含有的组合是从这n个元素中取出m个元素组成的，共有个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，我们主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 3．组合数的 性质2：＝+． 证明： ∴ ＝+． 注：1( 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数． 2( 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用． 4．示例二： ⑴ 计算： ⑵ 求证：＝++ ⑶ 解方程： ⑷ 解方程： ⑸ 计算：和 推广： 5．组合数性质的简单应用： 证明下列等式成立： ⑴ （讲解） ⑵ （练习） ⑶ 6． 2