现代高等工程数学.ppt

现代高等工程数学电子教案 第8章 估计理论与假设检验 数学学院应用数学系 王国富 2010年3月 问题提出 某厂有一批产品，须经检验后方可出厂。按规定标准，次品率不得超过1%。今在其中随机抽取100件进行检查，结果发现有2件次品，问这批产品的次品率是多少？能否出厂？　 数理统计其实质就是利用样本对总体进行统计推断，而总体可以看作是一个随机变量，要知道一个随机变量的取值规律性就是要对它的分布作出一个推断。当我们对总体一无所知的时候，可以利用样本对分布作出估计，通常可以用频率分布表来估计离散型总体的分布率；用直方图估计连续性总体的分布密度；用经验分布函数估计总体的分布函数。当我们对总体的分布类型有了一定的了解，但分布中含有未知参数时，可以利用参数估计方法对参数的取值作出估计，其中包括点估计和区间估计。当我们对总体已经有了比较全面的了解，但实际中可能出现一些大的改变，这些改变会不会影响总体的分布，那就需要进行假设检验了。估计理论与假设检验是数理统计中两个最基本和最重要的内容 统计量 统计量的定义 定义1.2 设 为总体X的一个样本， 为 的连续函数，且不含有任何未知参数，则称T为一个统计量。 注:1.统计量是完全由样本确定的一个量，即样本有一个观测值时,统计量就有一个唯一确定的值 ; 2.统计量是一个随机变量，它将高维随机变量问题转化为一维随机变量来处理 ,但不会损失所讨论问题的信息量. 常见的统计量 1.样本均值 2.样本方差 3.k 阶原点矩 4.k 阶中心矩 5.顺序统计量 6.样本极差 与中位数 抽样分布 我们称统计量的分布为抽样分布 ,不同的统计量其分布不一定相同. 常见的分布类型有: 正态分布 伽玛分布 卡方分布 t 分布 F分布 伽玛分布 定义1.4 如果连续型随机变量X的密度函数为 其中 为 函数，则称X为服从参数是 的伽玛分布，记为 伽玛分布的性质 (1) 由此可得 (2) 如果 ，并且X和Y相互独立，容易求得 这个性质称为可加性,即伽玛分布具有可加性. 卡方分布 用构造性的方式定义是 定义1.5 设 为相互独立的随机变量，且均服从 ，则它们的平方和 也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度为n的 分布，记为 它的密度函数为 其密度函数与参数n有关，它的图形也有一定差异． 卡方分布的性质 　　　若　　　　　　，则 　　即卡方分布是一种伽玛分布，因此具有伽玛分布的性质 　　（１） 　　（２） 如果　　　　　　　　，并且X和Y相互独立，有 　卡方分布也具有可加性 t 分布 　构造性的方式定义 　　定义1.6 设　　　　　，　　　　　，且X与Y相互独立，记 　 　则Ｔ也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度为n的t分布，记为 它的密度函数为 与参数n有关，不同的n其图形也有差异． 性质 若　　　　　则 （１）当　　　时，t分布是柯西分布，柯西分布不存在数学期望和方差．参数为2的t分布也不存在数学期望和方差． （２）　　　　时， （３）可以证明 　这是标准正态分布的分布密度，即当n充分大时，T近似服从标准正态分布 Ｆ分布 　构造性的方式定义 　　定义1.７ 设　　　　　，　　　　　，且X与Y相互独立，记 　 　则Ｆ也是一个随机变量，它所服从的分布称为自由度为(m,n)的F分布，记为 它的密度函数为 它与m,n有关，其图形也有一定差异． 容易得到 　　若　　　　　　，则 　　　　　　　 分位数： 定义1.6 设X为连续型随机变量，其分布函数为　　 ，对　　　　，如果存在数　　 满足 则称　　为此分布的　　分位数 　分位数的几何意义 可用图形表示，它的值可查表得到，不同的分布有不同的分位数，有不同的表可查． 常见的分位数有 它们的