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华南师范大学量子力学课件-一维薛定谔方程
量⼦⼒学
⼀维薛定谔⽅程
• ⼀维⽆限深势井
• 线性谐振⼦
• 势垒隧穿
主讲⼈:杨谋
⼀维⽆限深势阱
• 薛定谔⽅程
• 波函数的连接条件与本征能量
• 本征波函数及其特点
• 本征能量和本征波函数与阱宽的关系
⼀维⽆限深势阱(I)
薛定谔⽅程
⼀维定态薛定谔⽅程
!2 d 2
− 2 ψ (x ) + V(x )ψ (x ) = Eψ (x )
2µ dx
0 , 0 ≤ x a
⎧
V(x ) = ⎨
∞, x 0 or x ≥ a
⎩
势阱区域,⽅程为
!2 d 2
− 2 ψ (x ) = Eψ (x )
2µ dx
2 2
ψ ′′ + k ψ = 0 其中 k = 2µE / ! 物理含义:波⽮
⼀维⽆限深势阱(II)
波函数的连接条件与本征能量
⽅程的解为(有多种写法)
ψ = C sin(kx + δ )
由于两侧的势垒为⽆限⾼,从物理上考虑应有
ψ (0) = 0 , ψ (a) = 0
sin(δ ) = 0 , sin(ka + δ ) = 0
定出待定常数得到
nπ
δ = 0 , kn =
a
2 2 2 2 222
! k ! n π
得到能级为 E = n =
n 2µ 2µa2
⼀维⽆限深势阱(III)
本征态及其特点
最后得到定态波函数
2 nπ x
ψ = C sin k x = sin , (ψ = 0 for x 0 , x a)
n n n
a a
2 2 2 2 222
! k ! n π
E = n =
n 2µ 2µa2
n = 1,2,!.
n1 可否?
波函数的特征
基态:0个节点
第⼀激发态:1个节点
第⼆激发态:2个节点 注意:图中纵坐标不是⾼度,⽽是是能量的⾼度
⼀维⽆限深势阱(IV)
本征能量和本征态与阱宽的关系
核⼼结果:
nπ
k =
a
E ∼ k 2 , ψ ∼ eikx ,e− ikx
• 本征态是⼀些驻波
• 阱宽是半波⻓的整数倍
• 本征波函数由前⾏波和后⾏波混合⽽成
• 粒⼦流密度是?
•阱宽变⼤,各个能级降低
• 能级⾼度与能级编号的平⽅成正⽐
如果势阱区的势不等于0 ,阱外仍为⽆限⼤,
⼜将如何?
⼀维线性谐振⼦
• 经典⼒学中的谐振⼦
• 研究谐振⼦的意义
• 定态薛定谔⽅程和它的解
• 能级
⼀维线性谐振⼦(I)
经典⼒学中的谐振⼦
经典⼒学中,⼀个⼩球受恢复
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