全国高中数学联赛辅导课件常用的解题方法与技巧(上篇)(三课时).pptVIP

广东省阳江市第一中学周如钢 * 构造法 反证法 引言 数学归纳法 思考1,2 思考3 前面运用重要不等式考虑问题其实就是构造法的一种体现.用构造法解题,特点是“构造”.但怎样“构造”，却没有通用的构造法则.下面通过实例说明. 思考4,5 思考6 还有没有其他方法 3 构造一元二次方程. 构造三角形的面积. 2 思考1 思考2 思考3 推理过程中一定要用到才行 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 反设 归谬 结论 思考1 思考2 思考3 思考1 思考2 思考3 下面通过练习来品味其中的思维. 注: 运用归纳假设证明递推性是数学归纳法证明过程中的闪光点,这里需要巧妙的构思. 先用数学归纳法证明是正整数, 然后再用数学归纳法证明不能整除. 这一步要巧用“第二数学归纳法”形式. 先猜后证,这数学发现的方法. 关于n的命题证明可考虑用数学归纳法尝试,这是数学思维的一个重要策略. 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周游数 广东省阳江市第一中学周如钢 广东省阳江市第一中学周如钢 例1答案 广东省阳江市第一中学周如钢 例1答案2 例2 例2答案 例2答案 例3 * 课外思考一: 1.设为三角形的三边,求证:. 2.若为锐角,且, 求证:. 3.某中学准备组建一个18人的足球队,这18人由高一年级10个班的学生组成,每个班级至少一个,名额分配方案共有____种. 构造法: 它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决.常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等. 课外思考一 思考3: 平面内有个两两相交的圆,并且任意三个圆不经过同一点,试问:这个圆把平面分成多少个区域? 反证法 当我们直接从正面考虑不易解决问题时,于是就要改变思维方向,从结论入手,反面思考。这种从“正面难解决,就从反面思考”的思维方式就是我们通常所说的——反证法,是间接证法的一种,它是数学证明的大法,历史上许多著名的命题,例如“为无理数”以及“质数无限”都是用反证法证明的. 反证法被人们誉为“数学家最精良的武器之一.”,是证明数学命题的一种重要方法，对于那些含有否定词的命题，“至少”型命题、唯一性命题，尤为适宜. 思考1: 设的一个排列, 求证:必是偶数. 思考2: 求证:在四面体中,必有某个顶点,从它发出的三条棱作为三边可以构成一个三角形. 数学归纳法(知识点见教程第138页) : 形式1(第一数学归纳法): ⑴验证成立; ⑵假设()成立,那么可推出也成立. 形式2(第二数学归纳法): ⑴已知命题成立； ⑵若当时命题都成立,则成立； 由（1）（2）可知命题都成立. 还有其他形式 (如跳跃数学归纳法): ⑴验证; ⑵假设 ()成立, 那么可推出也成立. 思考1: 设为正整数,为正整数, 试证: 思考2(教程第159页练习3): 设为不小于3的正整数,并记方程 的两根为 , 证明:对任何,都是不能被整除的正整数. 有固定求解模式的问题不属于竞赛中的数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。有人说：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。” 高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇) 高中数学联赛常用的解题方法与技巧(上篇) 构造一个隔板模型,取18个相同的小球排成一列,用9块隔板将18个小球分隔成10个空间,第个空间的小球对应第个班级的学生的名额,因此,名额分配方案的种数与隔板的插入数相等. 思考1: (1985年全国高中联赛试题)设实数满足 ,那么的取值范围是( ) (A) (B) (C) (D) 课外思考二 课外思考三 思考6: 将数字1,2,3,…,n填入n个方格里,每格一个数字,则标号与所填数字均不相同的填法有多少种? 令符合条件的填法数,增加数和标号为的方格. 思考2: (2002年湖南省竞赛题)设,且满足 ,则 思考3: 若,为实数, 求证: 构造一次函数 思考4: 已知且, 求的值. 对于中每一个填法,我们将第格的数移到第格,而将填入第格,得符合条件的填法种; 对于个数时,仅有第格填入的数是,其他个数填法符合条件为,我们也将第格的数移到第格,而将填入第格,得符合条件的填法种,于是,共有,易知. … … … 为