全国高中数学联盟考试问题和答案 1996.doc

1996年全国高中数学联合竞赛试卷 第一试 (10月13日上午8：00－9：20) 一、选择题(本题满分36分，每题6分) 1． 把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( ) (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－ eq \f(1,2),用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( ) (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13 3． 存在整数n,使 eq \r(p+n)+ eq \r(n)是整数的质数p( ) (A)不存在 (B)只有一个 (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 4． 设x∈(－ eq \f(1,2)，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( ) (A)α3α2α1 (B)α1α3α2 (C)α3α1α2 (D)α2α3α1 5． 如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+ eq \f(1,x2)在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( ) (A) 4+ eq \f(11,2) eq \r(3,2)+ eq \r(3,4) (B) 4－ eq \f(5,2) eq \r(3,2)+ eq \r(3,4) (C) 1－ eq \f(1,2) eq \r(3,2)+ eq \r(3,4) (D)以上答案都不对 6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 二、填空题(本题满分54分，每小题9分) 1． 集合{x|－1≤log eq \s\do6(\f(1,x))10－ eq \f(1,2)，x∈N*}的真子集的个数是 ． 2． 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上， eq \o(\s\up10(_),z1)·z2的实部为零，z1的辐角主值为 eq \f(π,6)，则z2=_______． 3． 曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______． 4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________． 5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．) 6． 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________． 第二试 一、（本题满分25分）设数列{an}的前n项和Sn=2an－1（n=1，2，…），数列{bn }满足b1=3，bk+1=ak+bk(k=1，2，…)．求数列{bn }的前n项和． 二、（本题满分25分）求实数a的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0， eq \f(p,2)]，恒有 （x+3+2sinθcosθ)2+(x+asinθ+acosθ)2≥ eq \f(1,8)． 三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证直线PA与BC垂直。 EF E F A B C G H P O1。 。O2 四、（本题满分35分）有n(n≥6)个人聚会，已知： （1）每人至少同其中 eq \b\bc\[(\f(n,2))个人互相认识； （2）对于其中任意 eq \b\bc\[(\f(n,2))个人，或者其中有2 人相识，或者余下的人中有2人相识． 证明：这n个人中必