(10-11-30)第6章参数估计.ppt

* * * 第六章 参数估计 点估计问题概述 点估计的常用方法 置信区间 正态总体的置信区间 6.1 点估计问题概述(P131) 一、点估计的概念 问题的提出：已知总体X的分布函数F(x;θ1,θ2,…,θk)，其中θ1, θ2,…, θk是未知参数。 点估计：由总体的样本(X1,X2,…,Xn)对每一个未知参数θi(i=1,2,…,k)构造统计量 作为参数θi 的估计，称 为参数θi的估计量。 样本(X1,X2,…,Xn)的一组取值(x1,x2,…,xn)称为样本观察值，将其代入估计量 ，得到数值 称为参数θi的估计值。 在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称点估计，记为 。 二、评价估计量的标准（P132） 1、无偏性 估计量 的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数吻合，这就是无偏性所要求的。 是一个随机变量，对一次具体 定义 是?的一个估计量，如果 有 则称 是?的一个无偏估计。 如果 不是无偏的，就称该估计是有偏的。 称 为用 估计? 而产生的系统偏差。 例6.1 设总体X的k阶矩存在，则不论X的分布如何，样 本k阶原点矩 是总体k阶原点矩的无偏估计。 证明 设X的k阶原点矩 μk=E(Xk)，k≥1 (X1,X2,…,Xn)是来自总体X的一个样本，则 所以Ak是μk的无偏估计. （2）样本方差S2 是总体方差σ2的无偏估计量； 定理1（P132）总体X的均值为μ，方差为σ2 ，(X1,X2,…,Xn)是取自X的一个样本， 与S2 分别为该样本的样本均值与样本方差，则有（1）样本均值 为总体均值μ的无偏估计量； （3）样本二阶中心矩 是总体方差σ2的有偏估计量； 二、有效性(P134) 对于参数?的无偏估计量，其取值应在真值附近波动，我们希望它与真值之间的偏差越小越好。 定义 设 均为未知参数?的无偏估计量，若 则称 比 有效。 在?的所有无偏估计量中，若 估计量，则称 是具有最小方差的无偏 显然也是最有效的无偏估计量，简称有效估计量。 阅读P134/例3 为一致最小方差无偏估计量。 由于 现用它来估计未知参数?，故称这种估计为点估计。 是实数域上的一个点， 点估计的经典方法是： (1)矩估计法 (2)极大似然估计法 一、矩估计法(简称“矩法”) 英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出 1、矩法的基本思想： 以样本矩作为相应的总体同阶矩的估计； 以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计。 6.2 点估计的常用方法(P136) 2、矩法的步骤： 设总体X的分布为F(x; θ1,θ2,…,θk)，其中k个参数θ1,θ2,…,θk待估计，(X1,X2,…,Xn)是一个样本 。 (1)计算总体分布的i 阶原点矩E(Xi)=μi(θ1,θ2,…,θk)，i=1,2,…,k，(计算到k阶矩为止，k个参数)； (2)列方程 从中解出方程组的解，记为 则 分别为参数θ1,θ2,…,θk的矩估计。 例6.2 设总体X的均值为μ，方差为σ2，均未知。 (X1,X2,…,Xn)是总体的一个样本，求μ和σ2的矩估计。 解 解得矩法估计量为 注： 例6.3 设总体X~P(λ)，求λ的矩估计。 解: 例6.4 设(X1,X2,…,Xn)来自X的一个样本，且 求a,b的矩估计。 解： X~U(a,b)， 解得矩估计为 矩估计法的优点：计算简单； 矩估计法的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的解； (2)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解； (故通常规定：在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩) 如例6.2中，不是用1阶矩，而是用2阶矩 与 不同 (3)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有解。例 二、极大似然估计法(R.A.Fisher费歇)(p138) 例6.5 设总体X服从0—1分布，即分布律为 x=0,1，其中0θ1未知 (X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，设其观察值为(x1,x2,…,xn)， 则事件(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)发生的概率为 对于给定的样本观察值，上述概率为θ的函数，称其为似然函数，并记为L(θ)，即 为使上述随机事件的概率达到最大，应选取使L(θ)达到最大的参数值(如果存在)，即选取的 应满足 1、极大似然估计法的基本思想 一般说，事件A发生的概率与参数???有关，?取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A|?)。若A发生了，则认为此时的?值应是在?中使P(A|?)达到最大的那一个。这就是极大似然思想。 使得取该样本值发生的可能性