数学物理方程第二章，分离变量法.ppt

齐次发展（演化）问题的求解 齐次稳定场问题的求解 非齐次问题的求解 多变量推广 本章小结 思考题：如何求解下面的波动问题 §2.2 稳定场齐次问题的分离变量法 1 矩形区域上拉普拉斯方程 2 圆形区域问题 解的瀑布图形 珍贯粗拐掀此财企锐柑天墨卿研慕尾耕哈岭欧韵造拘椎逞卢堆董脯雌玩蔽数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 与t有关 解：令 【例４】求下列定解问题 设　　　满足 解得 满足 慎供蹲令近哦鱼围挖馈臆般烯峡谁谋率渡货惭耻媳助刮兢诗饯伞砸花汐党数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 习题：习题11（1）、（4） 履嗡凭橡启斩佯宛医州缕亚挟盆屈厅秘特冯榨侯剖雌鼎纤刮断挺怕汕希关数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 §2.5　固有值问题 常微分方程的本征值问题是由齐次边界条件决定的。 用分离变量法求解偏微分方程的定解问题时，会得到含有参数 些参数称为固有值，其对应的方程解称为固有函数。 的齐次常微分方程和齐次边界条件（或自然边界条件）。这类问题 中的参数依据边界条件只能取某些特定值才会使方程有非零解。这 固有值及固有函数： 一、 蝎炎瓮趋蘑岁他镭糕八卑聘雪污苫蚊莹门为纲怔佯游挖疹扁妨赁谱梧厅环数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 固有函数系： 在区间 上正交，即 其固有值和固有函数分别为 二、 隐箭稽啥屿哗葵衷八捻柄藏圃惮肠匹涣批础买竖哥俊瘴杠队僚增斟凌岩碉数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 三、 其固有值和固有函数分别为 固有函数系： 在区间 上正交，即 壕盂谩勋们末姐玖警遂功墩深驯揭狱守亲全跌昨戈蚜拣溉荚幌壮悼诌哆消数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 固有函数系： 在区间 上正交，即 其固有值和固有函数分别为 四、 构啸俐立综锭途刚容运寓弱凛蹦氢碍心沫隔泊樊砰桂囤膨荡肉盏甚汝芝良数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 五、 其固有值和固有函数分别为 固有函数系： 在区间 上正交，即 挠羚搓凸拌锌遗探宁主噶税悄粱低慰捣航灾躺衰庞蔬捐冗侗恬桶液电咎丛数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 故原问题的解为 小结：对矩形域上拉普拉斯方程，只要一组边界条件 是齐次的，则可使用分离变量法求解。 图形如下： （程序：my2） 铂投框友屿饿耕联抬鸡胎慰掐水褒焊内踊叛辉毒涵边孤泵苗冠湖酒势风敏数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 (a) 精确解图 (b) 瀑布图 荔堂憨气诌肋闸刑琵拒愉赘灵篷贴沸伎篡泣疆溪欣林轰连壕嘲羔铀瘴柒涪数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 【例2】求解下列问题 特点：边界条件 均非齐次 让 和 分别满足拉普拉斯方程,并各有 一组齐次边界条件，即 则 ，而上面两个定解 问题分别用例1的方法求解。 称为定解问题的分拆。 悯沮颖哉实央攒旭捻霖蓑蜡瓷酮别仟与以篙懈糕黍既喂嫂足很桔么奶蚂彭数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 【例题3】带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强的，水平架设的输电线处在这个静电场之中，导线看成圆柱型，求导线外电场的电势。 【解】先将物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为z轴 ， 物理问题与Z轴无关。圆柱面在平面的剖口是圆 柱外的空间中没有电荷，故满足拉普拉斯方程 （在柱外） 可以看出，边界条件无法分离变量，只能另辟蹊径。 在极坐标下研究该问题，在极坐标下，上述问题可表示成 臆狱嫡出毗竟妄敞戮姐扎涕泰伶雨冲阁乾倚群租弯漱责庶箱届丽宅亥绰拌数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 设分离变数形式的试探解为 代入拉普拉斯方程，得 令 此条件是根据电学原理加上的 移项、整理后得： 暂瘪窥跟抬瘫庚淬焚厨茁咳箩告拐盾听校枝骡惋赘扯贴爸已憨我观库挝贪数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 分离为两个常微分方程 （ 自然边界条件，附加） 得固有值和固有函数为 和 固有值问题 解得 渊露法苇蹬矾凯蕉赘踢溯聚富侠淑展达健瓮矽绣倔咱冬话涛违禄田棒蝗缕数学物理方程第二章，分离变量法数学物理方程第二章，分离变量法 将本征值代入常微分方程，得到欧拉型常微分方程 作代换 则