(报童诀窍补充知识)第2章.ppt

§2.2 随机变量的数学期望 分赌本问题(17世纪) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元. 无平局，谁先赢3局，则获全部赌注. 当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博. 问如何分赌本? 两种分法 1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 2.2.1 数学期望的概念 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： 2.2.2 数学期望的定义 定义2.2.1 设离散随机变量X的分布列为 P(X=xn) = pn, n = 1, 2, ... 若级数 连续随机变量的数学期望 定义2.2.2 设连续随机变量X的密度函数为p(x), 若积分 注 意 点 数学期望简称为期望. 数学期望又称为均值. 数学期望是一种加权平均. 2.2.3 数学期望的性质 定理2.2.1 设 Y=g(X) 是随机变量X的函数， 若 E(g(X)) 存在，则 §2.3 随机变量的方差与标准差 数学期望反映了X 取值的中心. 方差反映了X 取值的离散程度. 2.3.1 方差与标准差的定义 定义2.3.1 若 E(X?E(X))2 存在，则称 E(X?E(X))2 为 X 的方差，记为 注 意 点 (2) 称 2.3.2 方差的性质 随机变量的标准化 §2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X ~ b(n, p). X为n重伯努里试验中“成功”的次数, 2.4.2 泊松分布 2.4.3 超几何分布 2.4.4 几何分布 注 意 点 常用离散分布的数学期望 常用离散分布的方差 §2.5 常用连续分布 正态分布、均匀分布、指数分布、 伽玛分布、贝塔分布。 2.5.1 正态分布 常用连续分布的数学期望 常用连续分布的方差 §2.7 分布的其它特征数 矩、变异系数、分位数、中位数 2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 2.7.2 变异系数 2.7.3 分位数 注 意 点 上侧 p -- 分位数 2.7.4 中位数 中位数与均值 统计中常用的 p - 分位数 若 X ~ N(?, ?2), 则 P(Xa) = ， P(Xa) = 设 X ~ N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X?10|2). 解: P(10X13) = ?(1.5)??(0) = 0.9332 ? 0.5 P(|X??10|2) = P(8X12) = 2?(1)?1 = 0.6826 = 0.4332 例2.5.3 正态分布的 3? 原则 设 X ~ N(?, ?2), 则 P( | X?? | ? ) = 0.6828. P( | X?? | 2? ) = 0.9545. P( | X?? | 3? ) = 0.9973. 记为X ~ U(a, b) 2.5.2 均匀分布 X ~ U(2, 5). 现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率. 解： 记 A = { X 3 }, 则 P(A) = P( X 3) = 2/3 设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数, 则 Y~ b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y≥2) = P(Y=2)+P(Y=3) =20/27 例2.5.5 2.5.3 指数分布 记为 X ~ Exp(?), 其中? 0. 特别：指数分布具有无忆性，即： P( X s+t | X s )=P( X t ) 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp(?) : E(X) = 1/? 正态分布 N(?, ?2) : E(X) = ? 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b ?a)2/12 指数分布 Exp(?) 的方差= 1/?2 正态分布 N(?, ?2) 的方差= ?2 例2.5.6 已知随机变量 X 服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数 n, p 的值为多少？ 例2.5.7 设 X 表示 1