02优化设计的数学基础.ppt

第二章 优化设计的理论基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。 为便于后续各章优化方法的学习，有必要研究这些非线性函数的性质和变化规律。 2.1 函数的泰勒(Taylor)表达式 工程设计的优化问题中，所列的目标函数往往很复杂，为了简化问题，常将目标函数在所讨论点附近展开成泰勒多项式来近似原函数。 一元函数f(x)在点X(k)的某个领域内具有直到（n+1）阶导数，其Taylor展开式可表示为一个多项式与一个余项的和： 多元函数f(x), X=[x1, x2, … ,xn]T,在x(k)点的Taylor展开式为： 矩阵形式为： Taylor展开式若取到二次项，函数可近似用一个二次函数来逼近，称为平方近似： 若只取一次项，可得到函数的一次Taylor近似式： 该式也称为线性展开式或函数的线性化。 2.5 凸集、凸函数 一、局部最优和全局最优 函数极值点是局部区域中各点相比较而言。当点 X*邻近的所有点X都满足： 称X*和f(X*)分别为局部极小点和局部极值。 局部最优点可能有多个，例如： 最优化问题是求全域最优解。 二、凸集 1、函数的凸性 函数的凸性表现为单峰性。 2、凸集 定义：设集合 D ? En，若任意 两点X(1) ? D, X(2) ?D, 所连成的线段上的点X 对任意实数a?[0,1]都在集合D内，则称集合为凸集， 否则称为非凸集。 3、凸函数 D为En中的一个凸集，f(x)为定义在D上的函数， 若对任意实数 和D中任意两点X(1),X(2)都 有 则称函数f(x)为定义在D上的一个凸函数。 凸函数的性质： 2.6 约束函数的性质 1.约束函数的集合 满足所有约束条件的点X组成的集合称为约束函数 的集合，可表示为： 式中gu(X) 和hv(X)为连续的，qn。 约束条件把设计空间分割成两个区域：可行域D和非可行域。 不等式约束函数在n维设计空间中形成的可行域是由一些超曲线、超曲面、超平面包围而成的n维设计空间的一个子集。 q个等式约束形成的可行域是一个(n-q)维的光滑超曲面。 如果约束函数都是线形函数，则D必是一个凸集。 练习： 有一二级减速器，总传动比 ， 问如何分配两级传动比，使输入输出轴之间距离最小。 K-T条件的一般表述 设计点X*，该点处的各个适时约束gu(X*) =0(u=1,2,…,m)的 梯度向量▽gu(X(k)) =0(u=1,2,…,m)线形独立，则X*为约束极小 点的必要条件是： 式中，tu为非负乘子，也称为拉格朗日乘子。 若引入适时约束的下标集合： K-T条件可表示为： * * 第三周 称为f(X)在点x(k)的梯度,它是f(X)在该点的一阶偏导数的列向量。 称为f(X)在点x(k)的Hessian矩阵,它是f(X)在该点的二阶偏导数所组成的方阵。它是一个实对称矩阵，也记作H(x(k))。 2.2 二次型与正定矩阵 一、二次型与实对称矩阵 将关于变量x1, x2, … , x n的二次齐次函数 称为x1, x2, …, x n的二次型。用矩阵表示，则上述二次 型可表示为： 其中： 为n阶实对称矩阵。 二、正定矩阵 若任何一个非零向量X=[x1, x2, … ,xn]T都使二次型 则称该二次型为正定二次函数,称矩阵A为正定矩阵。 反之，如果实对称矩阵A是正定的，则二次型对于所有非零向量X，其值总为正。 若二次型 则A为半正定矩阵； 若二次型 则A为负定矩阵； 若二次型 则A为半负定矩阵； 若二次型 有些X使它为正,有些X使其为负,则A为不定矩阵。 判断矩阵A是正定或负定的方法： 若矩阵A的行列式|A|的各阶顺序主子式都大于零， 即： 则矩阵A为正定矩阵。 若矩阵A的行列式|A|的各阶顺序主子式负、正交 替地变换符号，则矩阵A为负定矩阵。 2.3 函数的等值面或线 对一般的二次函数 若 ，则其等值线为椭圆族； 若 ，则其等值线为双曲线族； 若 ，则其等值线为抛物线族； 若目标函数是线性的，则其等值线是一族平行线。 对于二次函数，若有极值点存在，则在该点附近