09的微积分第五章课件5.3向量的乘法运算.ppt

第三节 向量的乘法运算 一、两向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 思考题: * * 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、向量的混合积 四、小结 启示： 引例： 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 设 、 为向量， 为向量 与 的数量积. 则称数量 记为 ， 即 . 数量积也称为“点积”、“内积”. 注意： 中的“.”不能省. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 数量积符合下列运算规律： （2）交换律： （3）分配律： （4）若 为数： 若 、 为数： 证 关于两向量垂直的说明： 证 正交（或垂直）， 定理 设 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 解 例3 设 例4 设 解 引例 定义 关于向量积的说明： // 向量积也称为“叉积”、“外积”. 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数： 证 // // 设 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 例如， // 由上式可推出 向量积的几何意义： 1、 表示以 和 为邻边的平行四边形的面积. 解 解 例3 定义 设 混合积的坐标表达式 （1）向量混合积的几何意义： 关于混合积的说明： 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致. 解 解 例2 解