09管经4-1向量组、线性组合1.ppt

第四章 向量组的线性相关性 本章的基本内容 线性方程组的等价 线性方程组的等价 方程组A 方程组B 设有方程组 的每个方程都是方程组 A的线性组合，即B 由A中方程经线性运算得到， 则称方程组 若方程组A和方程组B能互相线性表示，则称 方程组A与方程组B等价. B的方程是方程组A的线性组合 B的增广 矩阵的行向 量 组 可由A的增广矩阵的行向量组线性表示. 故 对齐次线性方程组有同样结论 这时，方程组A的解也是方程组B的解 方程组A的线性组合？ 由A中方程经线性运算得到的方程！ 若有方程组 （用矩阵解决方程组的深层依据） B能由方程组A线性表示. * * * * 问题的提出： 用矩阵表达或研究线性方程组？ 用矩阵表达或研究线性变换？ 何时有解？有多少个解？如何求解？ ——用矩阵的秩，矩阵的初等变换！ 从 x1, x2 ,…, xn 到 y1, y2 ,…, yn 的线性变换 何时可逆？如何求逆变换？ ——用矩阵的秩，矩阵的初等变换！ 问题一： ——因为矩阵的初等变换本质上是其行或列元素 与矩阵的结构有关！ 与矩阵中各行或列元素 之间关系有关！ 矩阵的秩与什么有关？ 问题二： 与矩阵中各行或列元素之间什么关系有关！ 与矩阵中各行或列之间的线性关系有关！ 之间的线性运算！ 矩阵的初等变换本质上是其行或列 矩阵的行或列本质上是一个 k元有序数组， 即一个k维向量！ 矩阵的所有行或列本质上是一个 k维向量组！ 用另外行或列线性表示！ 矩阵中各行或列之间的线性关系 就是矩阵这个向量组的线性关系 向量组的线性相关性！ 向量 向量用向量组线性表示 向量组 向量组用向量组线性表示 向量组与向量组等价 （概念、条件、方法） （概念、条件、结论） 向量组与向量组之间关系 向量组线性相关、线性无关 向量组的极大无关组，向量组的秩 （概念、条件、方法） （概念、方法、结论） 向量组内部向量的关系 向量组与矩阵， 向量组与方程组 解决线性方程组解的结构性质 向量空间（概念） （概念、条件、方法） n 维向量, 简称向量。 §1 向量组及其线性组合 一、n 维向量的概念 定义1(P. 81) 行向量 —实数 第 i 个分量 列 向 量 实向量 矩 阵 ？ 复向量？ 从矩阵角度 同一个n元有序数组构成的行向量与列向量是不同的向量！ 不同向量之间的关系，同于相应矩阵之间的关系！ n个有次序的 O = ( 0,0,···,0 )， 零向量 负向量 设向量 1.加法(减法): 2.数乘: 线性运算满足运算规律同于矩阵 同于矩阵的相应运算 有关运算 线性运算 是三维空间向量线性运算的推广。 同于三维向量。 n 维向量空间 中n –1 维超平面 三维向量空间 中的平面 向量的几何形象：点 点集合 点空间 （在相应坐标系中） 一个三元有序数组— 一些三元有序数组构成的集合— 一个n元有序数组— 一些n元有序数组构成的集合— 二、向量组及其线性组合 1、向量组—由若干个同维数的列(行)向量构成的集合（p82） n 个m 维列向量 m 个 n 维行向量 A 的 列 向 量 组 A的行向量组 维数是k—k维向量组 m 个 n 维列向量的向量组 构成一个n行m列的矩阵 m 个 n 维行向量的向量组 构成一个m行n列的矩阵 含有限个同维数向量的有序向量组与矩阵一一对应 是用矩阵研究向量组的基础！ 第i 个坐标是1其余均为零 单位坐标 向量组 对应单位阵 (I) 非齐次线性方程组 未知数 的系数 是m维的列向量 ——n个m维的列向量组成 是系数矩阵的第i列 是系数矩阵的列向量组 是增广矩阵的常数列 第i个方程的系数和常数项构成增广矩阵的第i行 是增广矩阵的行向量组 ——m个n+1维的行向量组成 为向量组A的 一个线性组合。 一个线性组合。 线性表示(出)。 线性方程组 的全体解 ——含有无限多个n维列向量的组 2、向量组的线性组合与向量用向量组线性表示 称式子 （p82定义2 ）向量由向量组线性表示 当 时， （还是个向量！） 一