1-1向量的线性运算.ppt

练习题: 设A, B, C不共线. 证明点M在平面ABC上的 充要条件是: 对任意定点O, 存在实数k1, k2, k3, 使得 且 k1 + k2 + k3 =1. OM=k1OA + k2OB + k3OC, 证明: (?) AB, AC 不共线, AM, AB, AC 共面, 故存在实数 k, m 使得 AM = k AB + m AC, 对任意定点 O, 有 OM ? OA = k ( OB ? OA ) + m ( OC ? OA ), 1.4 在共线共面问题上的应用 即 令 k1 = 1 ? k ? m, k2 = k, k3 = m, 即得结论. (?) 设 OM = k1OA + k2OB + k3OC, 注意到 k1 = 1 ? k2 ? k3 , 有 AM = OM ? OA = ( 1 ? k2 ? k3 )OA+k2OB+k3OC ? OA = k2(OB ? OA)+k3(OC ? OA) = k2AB + k3AC 可见 AM, AB, AC 共面, 即M在平面ABC上. OM = ( 1 ? k ? m ) OA + k OB + m OC, k1 + k2 + k3 =1. 1.4 在共线共面问题上的应用 例 2 设三角形ABC中, 点D, E, F分别在AB, BC, AC 边上, 使得线段AE, BF, CD 交于一点O(下图). 已知(A, B, D) = (C, A, F) = 1/2 , 求(B, C, E), (A, E, O), (C, D, O), (B, F, O). A B C D E F O 1.4 在共线共面问题上的应用 解: 设 AO = x AB + y AF, 由 (A, B, D) = (C, A, F) = 1/2 知, AB = 3AD, AF = 2/3 AC, 于是又有 AO = 3x AD + 2/3 y AC, 因为B, F, O 共线, C, D, O 共线, 所以由命题1.2可知 1.4 在共线共面问题上的应用 由此可得 (B, F, O) = 6, (C, D, O) = 3/4 . 再设 AE = t AO, 因此 AO = 1/7 AB + 6/7 AF 解得 = 4/7 AC + 3/7 AD, 则有 AE = t /7 AB + 6t /7 AF = t /7 AB + 4t /7 AC, 因为B, C, E 共线, 于是 t /7 + 4t /7 = 1, 从而 t = 7/5, 由此得到 (B, C, E) = 4, (A, E, O) = 5/2 . 1.4 在共线共面问题上的应用 练习: 设三角形ABC中, 点D, E, F分别在BC, CA, AB边上, 使得线段AE, BF, CD 交于一点O(下图). 已知(A, B, F) = 1/3, (C, F, O) = 2 , 求(B, C, D), (C, A, E), (A, D, O), (B, E, O). 答案: (B, C, D) = 2, (C, A, E) = 3/2, (A, D, O) = 1, (B, E, O) = 5. C A B E F D O 1.4 在共线共面问题上的应用 作 业 P14. 习题1.1 3, 7, 19, 23. 课外练习 * 第一章 向 量 代 数 §4 向量的外积 §1 向量的线性运算 §2 仿射坐标系 §3 向量的内积 §5 向量的多重乘积 §1 向量的线性运算 1.1 向量的概念 1.2 向量的线性运算 1.3 向量的分解 1.4 在三点共线问题上的应用 1.1 向量的概念 现实中：温度、时间、身高、体重等量 而位移、速度、加速度、力、力矩等量 只有大小，称为数量 (或标量) ; 既有大小又有方向，称为向量(或矢量) . 记号: 黑斜体小写西文字母, 如 向量 ?, ?, ?, a, b, c 等. 用绝对值记号表示向量的大小, 如 |? | 表示向量? 的大小. 向量的表示: 几何上, 用有向线段表示向量, 有向 线段的长度和方向分别表示了向量 的大小和方向. 记起点、终点分别为A, B的有向 线段为 AB 如右图, 有向线段AB 表示向量? A B ? 注: 今后就把有向线段看作向量, 向量与有向 线段的起点选取无关, 也称为自由向量; 向量的大小也称为向量的长度或模. 1.1 向量的概念