1-1线性空间的概念.ppt

哈尔滨工程大学理学院应用数学系 思考题 思考题解答 例7. 对于任意一个有限维线性空间 , 它必有两个 平凡子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间 本身。 例8 .设 ,那么线性方程组 的全部 解为线性空间 的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间。 当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。 解 (1)不构成子空间. 因为对 例9 有 即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间. 对任意 于是 有 满足 且 设 是线性空间 中的向量， 则由 的所有线性组合： 构成的集合是 的子空间，称为由 张成（生成）的子空间，记为： 或： 零向量集合与 本身称为平凡子空间， 非平凡子空间称为 的真子空间 张成子空间的定义: 八条运算规律: （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性． 例1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． 一般线性空间的判定方法 　　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． 例2 例3 不是线性空间 例5. 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间． (2) 一个集合，如果定义的加法和乘数运算不 是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满足八条线性运算规律． * Department of Mathematics Department of Mathematics * Department of Mathematics Company LOGO Department of Mathematics Department of Mathematics 线 性 空 间 引 论 Department of Mathematics, College of Sciences 课前预习、课中提高效率、课后复习 作业要求 书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取 使用教材 《 矩阵论 》 哈尔滨工程大学主编 其他辅导类参考书（自选） 线 性 空 间 与 线 性 映 射 第 一 章 教 学 内 容 和 基 本 要 求 1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵示表示, 了解线性空间同构的含义. 重点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；基变换与 坐标变换. 难点: 基变换与坐标变换 常见数域： 复数域 C ；实数域 R ；有理数域 Q ； 设F是至少包含两个数的数集，如果F中 F中的数，则称F为一个数域． 任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是 定义： 一,数域的定义 （注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．） §1.1 线性空间 说明： 1）若数集F中任意两个数作某一运算的结果仍在F 中，则说数集F对这个运算是封闭的． 2）数域的等价定义：如果一个包含0，1在内的数 集F 对于加法，减法，乘法与除法（除数不为0） 是封闭的，则称集 F为一个数域． 是一个数域． 例1．证明：数集 证： 又对 设 则有 设 于是 也不为0． 或 矛盾） （否则，若 则 于是有 为数域． 是数域. 类似可证 Gauss数域 二、数域的性质定理 任意数域F都包括有理数域Q． 证明： 设F为任意一个数域．由定义可知， 于是有 即:有理数域为最小数域． 进而有 而任意一个有理数可表成两个整数的商， 定义1 设 是一个非空集合， 为一数域．在V上定义运算如下： ⅰ)对任意两个元素 　 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作 三,线性空间的定义和举例 　　若对于任一数 与任一元素 ，总有唯 一的一个元素 与之对应，称为 与 的积， 记作 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的线性空间．记为: 八条运算规律: （1）一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通常的