1-2-1绝对值三角不等式.ppt

* 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 第一讲　不等式和绝对值不等式 　二　绝对值不等式 1　绝对值三角不等式 学 习 目 标1. 理解绝对值的几何意义． 2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义． 3．掌握三个实数的绝对值不等式及应用. 课 前 预 习 1.定理1 如果a，b是实数，那么 |a＋b|≤|a|＋|b|. 当且仅当________时，等号成立． 在上面的不等式中，用向量a，b分别替换实数a，b，当a，b不共线时，由向量加法的三角形法则知a＋b，a，b构成三角形，因此有向量形式的不等式________． 它的几何意义是三角形的________． 由于定理1与三角形之间的这种联系，我们称其中的不等式为________． 2．定理2 如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤________，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 　答案 ab≥0　|a＋b||a|＋|b|　两边之和大于第三边　绝对值三角不等式　|a－b|＋|b－c| 思考探究　 1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 提示　|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 2．三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？ 提示　数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离. 　名 师 点 拨 1.绝对值三角不等式 (1)定理1中|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．其等号成立有以下四种情形： a＝0，bR；b＝0，aR；a0且b0；a0且b0. 在|a＋b|≤|a|＋|b|中，若用－b代换b，则有|a－b|≤|a|＋|－b|＝|a|＋|b|.又|a|＝|a－b＋b|≤|a－b|＋|b|，故|a|－|b|≤|a－b|. 由此可以得到绝对值三角不等式的完整形式． |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 也可表示为： ≤|a±b|≤|a|＋|b|. 应用时应注意左、右两边等号成立的条件．该公式的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．故该公式称为“三角不等式”． 　(2)绝对值三角不等式的拓展 绝对值三角不等式推广到n个实数的形式如下： |a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|(nN＋)，当且仅当a1，a2，…，an同号或a1，a2，…，an为0时，等号成立． 　2．定理2 如果a、b、c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 其实这个不等式仍然是绝对值三角不等式．下面作一种推广，如果将a，b，c换成向量a，b，c，如下图，可以看出a－c，a－b，b－c构成一个三角形． 　对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其是它的左边没有字母b，只有右边才有．还要注意等号成立的条件(a－b)(b－c)≥0，与以前的不一样． 　3．利用绝对值三角不等式证明不等式 绝对值三角不等式结构优美、构思巧妙，通过它的发现、证明、应用能够培养学生的探索、推理能力． 用三角不等式放缩，主要用在含有绝对值的表达式中．由于它有|a±b|，|a|＋|b|，±(|a|－|b|)，||a|－|b||多种结构形式，因此，应在熟练的基础上，灵活应用． 　【例1】　“|x－A|，|y－A|”是|x－y|ε的(　　) A．充分而非必要条件　　B．必要而非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件 　典 例 剖 析【解析】　若|x－A|，|y－A|，则|x－y|＝|x－A＋A－y|≤|x－A|＋|y－A|＋＝ε. 故|x－A|，|y－A|是|x－y|ε的充分条件． 反之，若|x－y|ε，则可取|x－A|，|y－A|＝，显然|x－A|，|y－A|不成立． 故|x－A|，|y－A|不是|x－y|ε成立的必要条件． 　【答案】　A 规律技巧　在证充分性时，|x－y|变形为|x－A＋A－y|是关键，它将条件与结论联系起来． 　【变式训练1】　若|x－a|m，|y－a|n, 则下列不等式一定成立的是(　　) A．|x－y|2m　　　　B．|x－y|2n C．|x－y|n－m D．|x－y|m＋n 　解析　|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|m＋n. 　答案　D 【例2】　若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________． 　【解析】　因为|x－a|＋|x－1|≥|a－1|， 则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4. 【答案】　－2≤a≤4 规律技巧　利用绝对值三角不等式求最值的技巧 绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系，有些对于y＝