1-4等可能概型(古典概型).ppt

函数与极限 第四节 等可能概型(古典概型) * * * 一、排列组合公式 二、古典概型（等可能概型） 一、排列组合公式 1) 加法原理: 完成某件事有两类方法, 第一类有n 种, 第二类有m 种, 则完成这件事共有 n+m 种方法。 (1) 有重复排列: 在有放回选取中, 从n个不同元素中取r个元素进行排列, 称为有重复排列, 其总数为 nr . 2) 乘法原理: 完成某件事有两个步骤, 第一步有 n 种方法, 第二步有m 种方法, 则完成这件事共有 nm 种方法。 3) 排列: (1) 从 n 个不同元素中取 r 个元素组成一组, 不考虑其顺序, 称为组合, 其总数为 (2) 选排列: 在无放回选取中, 从 n 个不同元素中取 r 个元素进行排列, 称为选排列,其总数为 说明: 如果把 n 个不同元素分成两组, 一组r个, 另一组 n ? r个, 组内元素不考虑顺序, 那么不同分法有 种。 4) 组合: (2) 多组组合：把 n 个不同元素分成 k 组 (1? k ? n) , 使第 i 组有 ni 个元素, n1+n2+ … + nk = n 元, 若组内元素不考虑顺序, 那么不同分法共有 种。 (3) 常用组合公式： 二、古典概型（等可能概型） 生活中有这样一类试验( E1, E4) , 它们的共同特点是: (1) 样本空间的元素只有有限个; (2) 每个基本事件发生的可能性相同. 把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位, 又把它叫做古典概型. 设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性, 得 又由于基本事件两两互不相容; 所以 P({e1}) = P({e2}) = … = P({en}). = nP({ei}) 若事件 A 包含 k 个基本事件, 即 A = {e1,e2, …,ek }, 则有 ： —— 古典概型中事件概率的计算公式 例1 将一枚硬币抛掷3次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一 次出现正面”, 求 P(A1); (2) 设事件 A2 为“至少 有一次出现正面”, 求P(A2). 解: S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}. A1 = {HTT, THT, TTH}, P(A1) = 3/8, P(A2) = 7/8. 例2 一口袋装有6只球, 其中4只白球、2只红球, 从袋中取球两次, 每次随机取一只. 考虑两种方式: (a) 第一次取一只球, 观察其颜色后放回, 搅匀后再取一球. 此方式称为放回抽样. (b) 第一次取一球不放回袋中, 第二次从剩余的球中再取一球. 此方式称为不放回抽样. 分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率; (2) 取到的两只球颜色相同的概率; (3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率. 解: (a) 放回抽样情形. 以A, B, C 分别表示事件“取到的两只球都是白球”, “取到的两只球都是红球”, “取到的两只球中至少有一只是白球”. 则“取到两只颜色相同的球”为 A ? B, 由于 AB = ?, 得 P(A?B) = P(A) + P(B) = 5/9. 练习: 计算不放回抽样的情形. P(A?B) = P(A) + P(B) = 7/15. 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位不能为0，求数字0出现3次的概率. 2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的概率. 例3 将 n 只球随机的放入 N (N ? n) 个盒子中去, 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）. 解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有 而每个盒子中至多放一只球, 共有 思考: 指定的n 个盒子中各有一球的概率. 说明: 本例是一种重要的古典概率模型. 例如, 设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的, 即都等于 1/365, 则随机取 n(? 365) 个人, 他们的生日各不相同的概率为 于是, n 个人中至少有两人生日相同的概率为 经计算可得下述结果： n p 20 23 30 40 50 64 100 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.