1.21绝对值三角不等式的解法.ppt

【证明】∵|x|m≥|a|,|x|m≥|b|,|x|m≥1, ∴|x|2|b|， ∴ ∴ 故原不等式成立. 含参数的绝对值不等式的应用 【典例】(12分)设a∈R，函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1). (1)若|a|≤1,求|f(x)|的最大值. (2)求a的值，使函数f(x)有最大值 . 【规范解答】 【规范解答】(1)设g(a)=f(x)=ax2+x-a =(x2-1)a+x……………………………………………………1分 ∵-1≤x≤1, 当x=±1时，|f(x)|=|g(a)|=1； 当x≠±1时，x2-1＜0,g(a)=(x2-1)a+x是单调递减函数…2分 ∵|a|≤1,∴-1≤a≤1,① ∴g(a)max=g(-1)=-x2+x+1 ,………………………………………………3分 g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+ )2- ,…………………………4分 ∴|f(x)|=|g(a)|≤|g(a)max| =| |≤ , ………………………………………5分 ∴|f(x)|的最大值为 ………………………………………6分 (2)当a=0时②，f(x)=x； 当-1≤x≤1时，f(x)的最大值为f(1)=1不可能满足题设条件,∴a≠0.……………………………………………………7分 又f(1)=a+1-a=1, f(-1)=a-1-a=-1， 故f(±1)均不是最大值. ……………………………………8分 ∴f(x)的最大值 应在其对称轴上顶点位置取得. ∴a0.∴命题等价于 ………………………9分 ? ? …………………………………………11分 ∴a=-2. ………………………………………………………12分 【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程) 1.绝对值三角不等式 1.理解绝对值的几何意义. 2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用. 1.本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用. 2.本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的不等式问题. 绝对值不等式 绝对值 不等式 几何 意义 绝对值 三角不 等式 实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离. 对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上的对应点分别为A,B,那么|a-b|的几何意义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段AB的长度. 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+ |b|,当且仅当ab≥0时，等号成立. 如果a,b,c是实数，那么|a-b|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立. 定理1 定理2 |a| |a-b| 1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关系？ 提示：|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的？ 提示：数轴上任意一点到两点的距离之和，不小于这两点的距离. 3.函数y=｜x-1｜+｜x-3｜的最小值是_______. 【解析】y=｜x-1｜+｜x-3｜≥｜x-1+3-x｜=2. 答案：2 1.定理2的几何解释 在数轴上，a,b,c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|a-c|=|a-b|+|b-c|；当点B不在点A，C之间时，|a-c|＜|a-b|+|b-c|. 2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件 不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|. 与绝对值不等式相关的判断 【技法点拨】 与绝对值不等式相关的判断方法与技巧 (1)判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进行分析,如一个数的正、负、零等，数(或式子)的积、平方、取倒数等都对不等号产生影响，注意考查这些因素在不等式中的作用，一个不等式的成立与否也就比较好判断了. (2)如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简整理或变形后再利用绝对值不等式进行判断. 【典例训练】1.若x5,n∈N+,则下列不等式: ① ② ③ ④ 其中,能够成立的有________. 2.不等式 ≥1成立的充要条件是_____. 【