1.2和分布、大数定律、中心极限定理3.ppt

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论: 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形. 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布? 一、离散型分布的情形 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求Z=X+Y的概率函数. 解: =a0br+a1br-1+…+arb0 由独立性 此即离散 卷积公式 r=0,1,2, … 解：依题意 例2 若X和Y相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 的泊松分布. 由卷积公式 i=0,1,2,… j=0,1,2,… 由卷积公式 即Z服从参数为 的泊松分布. r =0,1，… 例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y 的分布. 回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释: 同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现 的次数,每次试验中A出现的概率为p. 若X~ B(n1,p),则X 是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p. 故Z=X+Y 是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p，于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机变量，即Z ~ B(n1+n2, p). 例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度. 解: Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z) 这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面. 一、连续型分布的情形 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y,得 变量代换 交换积分次序 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则上述两式化为: 这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例5 若X和Y 独立,具有共同的概率密度 求Z=X+Y的概率密度 . 解: 由卷积公式 也即 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示: 也即 于是 教材上例5 请自已看. 注意此例的结论： 用类似的方法可以证明: 若X和Y 独立, 结论又如何呢? 此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论. 若X和Y 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2). 有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布. 更一般地, 可以证明: 从前面例4可以看出， 在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布. 若每一个问题都这样求，是很麻烦的. 下面我们介绍一个用来求随机向量(X,Y)的函数的分布的定理 . 定理1（独立同分布下的中心极限定理） 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布. 设X1,X2, …是独立同分布的随机 变量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…，则 虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+ …+Xn 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 第二章中介绍的棣莫佛－拉普拉斯定理 （二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况. 定理(棣莫佛－拉普拉斯定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 几个常见的大数定律 定理1（切比雪夫大数定律） 设 X1,X2, …是相互独立的随机