1.2空间直角坐标系向量的坐标表示.ppt

* 1.2 空间直角坐标系 向量的坐标表示 1.2.1.空间直角坐标系 定义1.12 在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量 ，就确定了三条都以O点为原点的两两垂直的数轴，依次记为 轴（横轴）， 轴（纵轴）， 轴（竖轴），统称为坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系或[O,i,j,k] 坐标系。通常把 轴配置在水平面上，而 轴则是铅垂线；它们的正向 通常符合右手规则： 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 横轴 纵轴 竖轴 定点 空间直角坐标系 Ⅶ 面 面 面 空间直角坐标系共有八个卦限 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅷ 例4 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 解答： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; 空间的点 有序数组 特殊点的表示: 坐标轴上的点 坐标面上的点 2.向量 的坐标分解式 任给向量 ，对应点M，使 以OM为对角线，三条坐标轴为棱作长方体OPAQ——RCMB， 有： 空间任给两个点M1 ,M2的坐标,可 得空间向量M1M2的坐标形式. 1.2.2 利用坐标作向量的线性运算 则 解 设 为直线上的点， 由题意知： 1.2.3 向量的模与方向余弦 空间两点间距离公式 解 原结论成立. 解 设P点坐标为 所求点为 解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向 2. 空间两向量的夹角的概念： 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值. 定义2.1.15 设有两个非零向量 规定不超过 的 空间一点在轴上的投影 空间一向量在轴上的投影 关于向量的投影定理（1） 证 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 注意: 1.向量 在三个坐标轴上的 投影分别为数量 2.向量 在三个坐标轴上的分量是向量 3.向量 在向量 上的投影为 非零向量 的方向角： 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. 3.向量的方向余弦的坐标表示式 由图分析可知 向量的方向余弦 方向余弦通常用来表示向量的方向. 当 时， 向量方向余弦的坐标表示式 方向余弦的特征 特殊地：单位向量的方向余弦为 解 解 思考题 思考题解答 对角线的长为 * * * * 即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角 度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向. 例7 求证以、、 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 例8 设在轴上，它到的距离为到点的距离的两倍，求点 的坐标. 因为在轴上， 例6 设和为两已知点，而在直线上的点分有向线段为两部分、，使它们的值的比等于某数，即，求分点的坐标. 为有向线段的定比分点. 为中点时， 例9 求平行于向量的单位向量的分解式. 称为向量与向量的夹角,记作 过点作轴的垂直平面，交点即为点在轴上的投影. 已知向量的起点和终点在轴上的投影分别为那 么轴上的有向线段的值，称为向量在轴上的投影. 向量在轴上的投影记为 向量在轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦： 、、 例11 设，，，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量. 在轴上的投影为, 在轴上的分向量为. 设，，求以向量为边的平行四边形的对角线的长度. 平行四边形的对角线的长度各为.