1.2自由电子气体的热性质.ppt

§1.2 自由电子气体的热性质 本节主要内容: 1.2.1 化学势随温度的变化 1.2.2 电子比热 一、费米---狄拉克分布（费米分布函数） T?0K时，N个电子在本征态的分布不能再简单地由泡利不相容原理决定。要由费米---狄拉克分布函数，亦即费米分布函数给出。 1. 表达式： 下面简单复习热统中学过的费米分布函数的知识 2.物理意义 表示N—电子体系在热平衡态(温度为T)时，能量为?i的单电子本征态被一个电子占据的概率，亦即该电子态的平均电子数。 ?是N电子热力学体系的化学势 化学势 恒温、恒体积下自由能随粒子数的变化 可由归一化条件确定 1.2.1 化学势随温度的变化 说明： 化学势 ?是恒温、恒体积下自由能随粒子数的变化，它的意义是在体积和温度不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。对于N电子体系的金属来说，相应于费米能级的变化，所以，化学势 ? 和费米能级?F不加以区分。（后面将进一步给出解释） 3.费米分布函数的特点 因此，很多的固体书中把费米分布函数表示为： 注意：下面的分析中，和书中有区别，所以，我把?i 用E来表示，化学势 ? (或费米能级?F ）换成EF 从而，费米分布函数表示为： 下面我们讨论 的关系 随着T的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在EF附近?kBT范围内。 当T?0K，E=EF时， 反过来，也可求费米能 4.求EF的表达式(亦即化学势?随温度的变化p9） 分两种情况讨论： E~E+dE间的电子状态数： E~E+dE间的电子数： 系统总的电子数： (1)在T=0K时，上式变成： 将自由电子密度 N(E)=CE1/2 代入得： 其中 这和前面得到的结果一样 dZ=N(E)dE (利用分步积分) (2)当 T?0K 时 =0 则上式化简为 因此一方面， 另一方面，将g(E)在EF附近展开为泰勒级数： 函数的特点具有类似于?函数的性质，仅在EF附近kBT的范围内才有显著的值，且是E－EF的偶函数。 只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到 稍后解释 很显然，I0等于１，由于　　 为(E-EF)的偶函数，因此I1=0。 令(E-EF)/kBT=?，则 得： 由此可证得 为偶函数 得: =1 =0 由于系统的电子数 由于kBTEF，利用 当温度升高时，EF比 小。 最后得 对于普通金属 这就是化学势与费米能通常不加以区分的原因 一、 电子气的摩尔热容量C 一摩尔物质温度升高(或降低)1°C所吸收(或放出)的热量，叫做物质的摩尔热容量C 所以，欲求电子热容量，需要求得电子的能量 1.2.2 电子比热 设物质的比热为c,摩尔质量为?,则有： 定容热容量为： U 为内能 1.计算每个电子的平均能量 E~E+dE间的电子数： E~E+dE间电子的能量: 电子的总能量： 每个电子的平均能量： 方法与上面的计算类似 =0