1.3.1导数的应用—函数的单调性.ppt

练习1 已知函数 的导函数 的图像如图所示，那么函数 的图像最有可能的是 已知函数y=xf’(x)的图像如左图所示，其中f’(x)是函数f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是( ). [例]　已知x1，求证：x ln(1＋x)． [例]　已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，求t的取值范围． [分析]　由向量的数量积和运算法则求函数f(x)的解析表达式，再f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立，求出t的范围． 仅供教学参考若有错误请批评指正谢谢！ 课前复习 1、函数f(x)在点x0处的导数定义 2、某点处导数的几何意义 3、导函数的定义 函数y=f(x)在点x0处的导数f?(x0)就是曲线y=f(x)在点M(x0,y0)处的切线的斜率. 4、四个常见函数的导数公式 公式1 （C 为常数） 公式2 公式3 公式4 5、导数的四则运算法则 6、复合函数的导数 7、对数函数的导数 （1） （2） 8、指数函数的导数 课前复习 预备知识 y x 0 a b c 预备知识 y x 0 a b c 直观地来看,如图从a到b曲线是上升的,说函数f(x)在区间(a,b)上是增函数; 从b到c曲线是下降的, 说函数f(x)在区间(b,c)上 是减函数. 3 . 单调函数图像特征 预备知识 探究一：函数单调性与导数符号的关系 符号 增区间 减区间 单调区间 函数 + + — 增区间 符号 减区间 减区间 单调区间 函数 — — 增区间 这里是具体函数，那么一般情况是否满足呢？ y x 0 a b c 观察曲线上升的时候,每一点的切线的斜率的大小;曲线下降的时候,每一点的切线的斜率的大小,你发现了什么规律? y x 0 a b c 导数的符号显示了函数值变化的增减情况. 若在某个区间上有有限个点使 f ’(x)=0,其余的点恒有 f ’(x)0，则函数 f(x)仍为增函数 例题1、已知导函数 的下列信息： 当1x4时， 0; 当x4,或x1时， 0; 当x=4,或x=1时， =0.则函数f(x)图象的大致形状是(　　）。 x y o 1 4 x y o 1 4 x y o 1 4 x y o 1 4 A B C D D 应用一：确定函数的图像大致形状 A 下图中的( ). A B C D C 练习2 应用二：证明函数单调性或求单调区间 法一:可用定义证明. 法二:运用导数来证明 哪种方法更简洁? (2)作差 f(x1)－f(x2)，并变形. 由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、x2是给定区间的任意两个值,且x1x2. (3)判断差的符号(与０比较),从而得函数的单调性. 此题用定义做就很困难了,可以看到利用导数研究单调性是很方便的,而且这种方法有一般性 自我小结一下运用导数研究单调性的方法步骤 运用导数确定函数的单调区间的方法步骤: 1).确定函数 f(x)的定义域. 2).求出函数的导数 f ′(x). 3).在定义域内解不等式f ′(x)0或解f ′(x)0 4).根据2)的结果确定函数 f(x)单调区间. 0 y x 1 2 -1 -2 单调递减区间:(-1,0)和(0,1). 由函数　　　　　的单调性,可画出其图象大致形状:如图 单调递增区间:(-∞,-1)和(1,+∞). 注意讨论 { -3 } [点评]　此类题的解题步骤一般是：首先构造函数，然后再采用求导的方法证明．利用函数的单调性证明不等式也是证明不等式常用的方法． 练习:已知：0 x ，求证：sinx x tanx. 应用三：证明不等式 探究二：结论的逆命题是否成立？ ？ ？ A 在某区间恒成立 ？ 为常函数 结 论 1、 在某区间恒成立 为常函数 3、 为某区间的增函数 且 的点离散 4、 为某区间的增函数 2、 理由： 如： 可能 理由： 可能 恒成立 应用四： t的取值范围是t≥5. a的取值范围为5≤a≤7 { -3 } 小 结 一、已知函数求单调区间方法 1).确定函数 f(x)的定义域. 2).求出函数的导数 f ′(x). 3).在定义域内解不等式f ′(x)0或解f ′(x)0 4).根据2)的结果确定函数 f(x)单调区间.