1.3.2算法案例(秦九韶算法).ppt

* 1.3算法案例——秦九韶算法 思考：怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢？ 计算多项式ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 当x = 5的值的算法： 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１ 算法1： 因为ｆ(ｘ) =ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１ 所以ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =3125＋625＋125＋25＋5＋１ = 3906 算法2： ｆ(5)=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１ ) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ ) ＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１) +１ ) +１ ) +１ =5×(5×(5×(5 ×(5 +１) +１ )+１)+１) +１ 共做了1+2+3+4=10次乘法运算，5次加法运算。 共做了4次乘法运算，5次加法运算。 《数书九章》——秦九韶算法 设 是一个n 次的多项式 对该多项式按下面的方式进行改写： 这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？ 要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即 然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即 最后的一项是什么？ 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一次多项式的值的方法，称为秦九韶算法。 通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个n次多项式，只需做n次乘法和n次加法即可。 秦九韶算法的特点： 例： 已知一个五次多项式为 用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解： 将多项式变形： 按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值： 所以，当x = 5时，多项式的值等于17255.2 另解：（秦九韶算法的另一种直观算法） 5 2 3.5 -2.6 1.7 -0.8 X5 27 138.5 689.9 3451.2 17255.2 + 多项式的系数 多项式的值 25 135 692.5 3449.5 17256 0 5 第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值 算法步骤 第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1 第三步：输入i次项的系数ai 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v. 思考：你能设计程序把“秦九韶算法”表示出来吗？ 第一步：输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值 第二步：将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1 第三步：输入i次项的系数ai 第四步：v=vx+ai,i=i-1. 第五步：判断i是否大于或等于0,若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v. 程序框图 开始 输入n,an,x的值 v=an i=n-1 i≥0？ 输出v 输入ai v=vx+ai i=i-1 结束 N Y 开始 输入n,an,x的值 v=an i=n-1 i≥0？ 输出v 输入ai v=vx+ai i=i-1 结束 N Y INPUT “n=”；n INPUT “an=”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT “i=”；i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 程序 1、已知多项式f(x)=x5+2x4+x3-3x2+5x+1 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。 练习： 2、已知多项式f(x)=2x4-x3-2x2+3x-6 用秦九韶算法求这个多项式当x=2时的值。