1.4.3正切函数的性质与图象.ppt

共 44 页 答案:C 第*页 * 第*页 * 1.4.3 正切函数的性质与图象 自 学 导 引(学生用书P26) 由正切线得到正切曲线,并掌握正切曲线的性质. 课 前 热 身(学生用书P26) 函数y=tanx的性质与图象见下表: 在开区间________________上都是_________ 单调性 奇偶性 周期 值域 定义域 图象 y=tanx (-∞,+∞) 最小正周期是π 奇函数 增函数 名 师 讲 解 (学生用书P26) 1.正切函数的性质通过观察正切线?正切曲线得到正切函数的各种性质,包括它的定义域?值域?周期性?奇偶性和单调性.对于正切函数的性质应注意以下几点: ①正切函数y=tanx的定义域是{x|x≠kπ+ ,k∈Z},这一点与已学过的正弦函数和余弦函数不同,在解题中往往注意不到.比如,求函数 的定义域,不仅要考虑到tanx≠1,还要考虑到tanx自身的限制,于是有:注意一定不能忽略后者. ②正切函数y=tanx的最小正周期为π,这一点也是与正弦函数?余弦函数不同的.形如y=tanωx的函数的最小正周期 这可以作为公式使用.③关于正切函数的单调性有下列命题:命题一:正切函数y=tanx是增函数;命题二:正切函数y=tanx在其定义域上是增函数;命题三:正切函数y=tanx在每一个开区间( +kπ, +kπ)(k∈Z)内是增函数.应指出,只有命题三是真命题. 2.正切曲线(1)用几何法作正切曲线,也就是用单位圆中的正切线画出正切曲线.正切曲线是由沿y轴的上、下两个方向无限伸展,并被无穷多条与x轴垂直的直线x=kπ+ (k∈Z)隔开的无穷多支曲线所组成的.这些直线x=kπ+ (k∈Z)为正切曲线的渐近线,在每两条这样的相邻直线之间,曲线是连续变化的,并且从左向右看是上升的. (2)正切曲线草图的画法.正切函数的图象在要求不高的情况下,可用“三点两线法”画出草图,“三点”是指(- ,-1),(0,0),( ,1);“两线”是指x=- ,x= .在三点两线确定的情况下,可大致画出正切函数在(- , )上的简图,然后向左?右平移即可得正切曲线. 典 例 剖 析(学生用书P26) 题型一 利用正切函数的单调性比较大小 例1:比较 的大小. 分析:利用诱导公式化为同一单调区间上的正切函数,利用正切函数的单调性比较大小. 规律技巧:当所给的两个角不在同一单调区间时,要用诱导公式将它们化到同一单调区间,不是同名函数的要利用公式化成同名函数. 变式训练1:比较下列各组数的大小.(2)tan1,tan2,tan3. 题型二 求函数的单调区间 例2:写出下列函数的单调区间(1)y=tan(2)y=|tanx|. 分析:(1)用换元法,(2)用图象解. (2)y=|tanx|= tanx,x∈[kπ,kπ+ )(k∈Z), -tanx,x∈(kπ- ,kπ](k∈Z).可作出其图象(如下图),由图象知函数y=|tanx|的单调递减区间为(kπ- ,kπ](k∈Z),单调递增区间为[kπ,kπ+π2)(k∈Z). 规律技巧:因为本题是分段函数且周期为π,所以可考查在(0, )及(- ,0)的单调性,然后根据周期,写出x在定义域内的单调区间. 变式训练2:y=2tan(3x+ )的单调增区间是__________. 题型三 正切函数性质的应用 例3:(2005·全国Ⅱ)已知函数y=tanωx在(- , )内是减函数,则( )A.0ω≤1 B.-1≤ω0C.ω≥1D.ω≤-1 解析:ω只是变换函数的周期并将函数的图象进行伸缩,若ω使函数在(- , )上递减,则ω必须小于0,而当|ω|1时,图象将缩小周期,故-1≤ω0. 答案:B 答案:D 易 错 探 究(学生用书P27) 错因分析:错解主要是误认为正切函数图象的对称中心的坐标是(kπ,0)(其中k∈Z),但由正切函数的图象发现:点(kπ+ ,0)(其中k∈Z)也是正切曲线的对称中心,因此正切函数图象的对称中心的坐标是( ,0)(其中k∈Z). 技 能 演 练(学生用书P28) 基础强化 1.y=tanx(x≠kπ+ ,k∈Z)在定义域上的单调性为( )A.在整个定义域上为增函数B.在整个定义域上为减函数C.在(- +kπ