1.4.5分段函数的求导法则.ppt

湘潭大学数学与计算科学学院 1.4.5 分段函数的求导法则 一、一元函数的情形 例4 二、 多元函数的情形 三、小结 思考题： 作业 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 返回首页 一、一元函数的情形 二、 多元函数的情形 三、 小结 在讨论分段函数在分界点处的可导性时， 必须用左右导数的定义来判别. 2. 利用左右导数的定义来判断. 1. 直接根据导数的定义来判断; 所以 因此 于是 注 求分段函数的导数时， 除了在分界点处的导数用导数定义求之外， 其余点仍按初等函数的求导公式即可求得. 例2 解 例3 解 设 解 又 所以 在 处连续. 即 在 处可导 . 处的连续性及可导性. 解 例5 设 先去掉绝对值 例6 设函数 试确定a、b的值，使f(x)在点x=1处可导. 解 ∵可导一定连续， ∴f(x)在x=1处也是连续的. 由 要使f(x)在点x=1处连续，必须有 a+b=1. 又 a+b=1. 要使f(x)在点x=1处可导，必须 即 a=2. 故当a=2, b=-1时, f(x)在点x=1处可导. 解 首先，函数F(x)在点x0必须连续，即 其次，因为函数F(x)在点x0必须有一阶导数， 所以必须满足 最后，因为函数F(x)在点x0必须有二阶导数，所以 因此，要使函数F(x)在点x0有二阶导数，当且仅当 注 (1) 在判断分段函数在分界点处的可导性时， 应从导数的定义出发求增量之比的极限， 依据极限的存在性判断函数的可导性； (2) 当函数在分界点两侧的函数表达式不同时， 应分别求出函数在该点处的左右导数，看其 是否存在并相等，从而决定在该点处的可导性； (3) 对于含参数的分段函数，要确定其中参数的值， 一般可通过分界点的连续性，可导性来确定. 由于求偏导数其实质就是求导数， 因此在讨论多元分段函数在分界点处的可导性时， 跟一元函数的情形完全相同， 可根据偏导数的定义来判别. 例 8 解 按定义可知： 注 一元函数有“可导必连续”的性质； 其值随k的不同而变化. 例9 设函数f(x,y)=|x-y|g(x,y)，其中g(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，试讨论g(x,y)满足什么条件， 解 (1) 由定义知 只需 g(0,0) = -g(0,0), 故g(0,0)=0, 同理可得 只需g(0,0)=0. 故需g(0,0)=0. 在g(0,0)=0条件下，由无穷小的性质知上式成立. 分段函数的求导法则的关键所在： 分界点的求导. 且 存在, 问怎样 选择 可使下述函数在 处有二阶导数 湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 返回首页