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1.向量和矩阵的范数.ppt1.向量和矩阵的范数.ppt1.向量和矩阵的范数.ppt
例5: 设A=(aij)∈M. 定义 * 第二章 矩阵分析 第一章 矩阵分析 1. 1 范数 1.4 摄动分析及条件数 本章要点 本章作业 2, 3, 4, 6 P51. 范数的概念及其计算 1. 1 范数 “范数”是对向量和矩阵的一种度量,实际上是 二维和三维向量长度概念的一种推广 数域: 数的集合,对加法和乘法封闭 线性空间: 可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭, 二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度 高维向量的长度能否定义呢? 也称为向量空间 定义1. 一、向量和矩阵的范数 --------(1) --------(2) --------(3) 显然 并且由于 --------(4) 例1.求下列向量的各种常用范数 解: 定义2:设{xk}是 Rn上的向量序列, 令 xk=(xk1,xk2,…,xkn)T, k=1,2,…., 又设x*=(x1*,x2*,…,xn*)T是 Rn上的向量. 如果lim xki= xi对所有的i=1,2,…,n成立, 那么,称向量x*是向量序列{xk}的极限 , 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 定义2. 例2. 不难验证其满足定义2的4个条件 称为Frobenius范数,简称F-范数 而且可以验证 tr为矩阵的迹 --------(5) --------(6) 类似向量的 2-范数 证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明:设 从而 定义3. --------(7) 简称为从属范数或算子范数 显然,由定义不难推出 定义4. 由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的 --------(8) --------(9) 根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数 --------(10) --------(11) --------(12) 例4. 求矩阵A的各种常用范数 解: 由于 特征方程为 容易计算 计算较复杂 对矩阵元素的 变化比较敏感 不是从属范数 较少使用 使用最广泛 性质较好 定义5. 而 因此 --------(13) 显然 即 所以 定理2. --------(14) 定理1. 定义6. 1.4 摄动分析及条件数 即有 --------(15)
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