10-1向量及其运算11.3.13.ppt

第十章 2. 向量的线性运算 (2) 向量的减法 3. 向量与数的乘法 例2 三、向量的坐标 1. 向量的坐标表示 2. 向量线性运算的坐标表达式 例3 例4 例5 3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式 例6 例7 (2) 方向角与方向余弦 例8 例9 内容小结 思考题 例1-2 例1-3 例9-1 3. 向量的概念 4. 向量的加减法 5. 向量与数的乘法 （注意与标量的区别） （平行四边形法则） （注意数乘后的方向） 1. 空间直角坐标系 2. 空间两点间距离公式 （注意它与平面直角坐标系的区别） （轴、面、卦限） 6. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标. 7. 向量的模与方向余弦的坐标表示式. （注意分向量与向量的坐标的区别） 8. 解 解 设P点坐标为 所求点为 空间解析几何与向量代数 Ⅰ. 向量代数 Ⅱ. 空间解析几何 向量及其线性运算 二 、向量的概念与线性运算 一、空间直角坐标系 三 、向量的坐标 第一节 第十章 一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念 定点 由三条互相垂直的数轴 按右手规则组成一个 空间直角坐标系. 过空间一定点 o , 空间直角坐标系 Ⅶ Ⅱ Ⅲ Ⅵ Ⅴ Ⅷ Ⅳ 坐标原点 坐标轴 x轴(横轴) y轴(纵轴) 坐标面(三个) 卦限(八个) zox面 Ⅰ z 轴(竖轴) ? 在直角坐标系下 点 M 有序数组 有序数 x、y、 z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标、 竖坐标, 记为 M(x, y, z). 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C . ? o 点M在x轴、y 轴、z轴上的投影 坐标面 : 称为三维欧氏空间. 坐标轴 : 二、向量的概念与线性运算 1. 向量的概念 向量表示法: 向量的模 : 向量的大小, 向量: (又称矢量). 既有大小, 又有方向的量称为向量 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 有向线段 M1 M2 , 或 a , 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量. 零向量: 模为 0 的向量, 相等向量： 负向量： 大小相等但方向相反的向量, 则称 a 与 b 相等, 规定: 零向量与任何向量平行 ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, a∥b ; 记作 若 n (≥3)个向量经平移可移到 则称此 n 个向量共面 . 平行向量： 向量共面： 同一平面上 , (1) 向量的加法 三角形法则: 平行四边形法则: 向量的加法符合下列运算规律： ① 交换律： ② 结合律： ③ 三角形法则可推广到多个向量相加. 设? 是一个数 , ? 与 a 的乘积是一个 (1) 定义 新向量, 记作 结合律 分配律 (2) 运算规律 例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证 结论得证. 依题设，有 A B 解 设 为任一向量， 将 平行移动， 其终点 则 可用向径 OM 表示， ? o ? o 称为基本单位向量，则 向量 的 坐标分解式 设 (1) 则 (2) (3) 平行向量对应坐标成比例: ? 对应坐标成比例 ? ? 注. 理解为： 解 求解以向量为未知元的线性方程组 ① ② 解 2×① －3×② , 得 代入②得 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使 解 设 M 的坐标为 如图所示 及实数 ∵ 而 ? 解得 —— 定比分点公式 点 M 为 AB 的中点 , 于是得 中点公式: (1) 向量的模与两点间的距离公式 则有 因为 对两点 与 得两点间的距离公式: 求点 M(4,3,-2) 到 y 轴的距离. 解 过点 M作 y 轴的垂面，则垂足点为P(0,3,0). 故点M 到 y 轴的距离为： 设 求以向量 行四边形的对角线的长度 . 该平行四边形的对角线的长度各为 对角线的长为 解 为边的平 设有两非零向量 ? =∠AOB (0≤ ?≤ ? ) 记作 两非零向量的夹角： 称为向量 的夹角. 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 方向角： 与三坐标轴正向的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 向量方向余弦的坐标表示式： 方向余弦的性质: 方向余弦通常用来表示向量的方向. 已知两点 和 的模 、方向余弦和方向角 . 解 计算向量 设点 A 位于第一卦限, 解 已知 夹角依次为 求点 A 的坐标 . 则 因点 A 在第一卦限 , 故 于是 故点 A 的坐标为 向径 OA 与 x 轴 y 轴的