10-3平面及其方程11.3.19.ppt

一、平面方程 1. 点法式 2. 一般式 例2 二、两平面的夹角 例8 例10 内容小结 备选题例3-1 (方法2) 例6-1 例8-1 * 第三节 一、平面方程 二、两平面的夹角 三、点到平面的距离 平面及其方程 1. 点法式方程 2. 一般式方程 3. 截距式方程 第十章 特征： ① ② 该向量就叫做平面的法向量． —— 平面的点法式方程 —— 平面的点法式方程 注. ② 平面上的一定点 确定平面方程的二 要素： ① (可不唯一) 解 取 例1 所求平面方程为 (方法1) 三元一次方程 平面方程 —— 平面的一般式方程 法向量: —— 平面的点法式方程 一些特殊平面方程 (1) 平面? 通过坐标原点； (2) 平面?平行于坐标轴； (缺少x项) 平面通过 轴； 平面平行于 轴； 平面?平行于 坐标面： 类似地，可讨论平面平行于y 轴、z 轴的情形. (3) 平面?平行于坐标面； 类似地，可讨论平面平行于其他坐标面的情形. 设平面为 由平面过原点知 所求平面方程为 解 例3 解 例4 设平面为 将三点坐标代入得 解 3. 截距式例5 代入所设方程得 —— 平面的截距式方程 设平面为 由所求平面与已知平面平行得 （向量平行的充要条件） 解 例6 化简得 令 代入体积式 所求平面方程为 定义 （通常取锐角） 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 —— 两平面夹角余弦公式 两平面位置特征： 研究以下各组里两平面的位置关系： 解 两平面相交，夹角 例7 两平面平行 两平面平行但不重合． 两平面平行 ? 两平面重合. 解 所求平面的法向量为： 解 三、点到平面的距离例9 —— 点到平面距离公式 解 平面的方程 （熟记平面的几种特殊位置的方程） 两平面的夹角. 点到平面的距离公式. 点法式方程. 一般方程. 截距式方程. （注意两平面的位置特征） 思考题 思考题解答 解 (方法1) 因为所求平面过 x 轴 ， 故可设平面的一般式方程为 代入(1), 消去C 得所求平面方程 又? 原点O(0, 0, 0) 在该平面上. 因为所求平面过 x 轴 ， O ? M (4, 1, -2) 故可取 所求平面的点法式为 * * 求过三点、和 的平面方程. 求过点，且垂直于平面 和的平面方程. 设平面过原点及点，且与平面垂直，求此平面方程. 由平面过点知 设平面与三轴分别交于、、（其中，，），求此平面方程. 轴上截距 轴上截距 轴上截距 求平行于平面而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 设是平面 外的一点，求到平面的距离. 若平面与平面的夹角为，求