10[1].6高斯公式2010.4.30.ppt

定义: 例7. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为 例8. 内容小结 * 练习 计算 ， 其中 ? ： 被平面x+z=2 及 z=0截解得的 部分的外侧. 2 z x O y 五、两类曲面积分之间的联系 有向曲面Σ上点 处的单位法向量 例5 解 小结 1、物理意义 2、计算时应注意曲面的侧 §10.6 高斯公式 高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边 界曲面上的曲面积分之间的关系，同时高斯公式 也是计算曲面积分的一有效方法。 一、 高斯公式 定理 o x y z 证明 首先假设穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好为两个 以投影区域的边界曲线为准线，母线平行于坐 标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分 根据三重积分的计算法 根据曲面积分的计算法 同理 合并以上三式得： —————— 高斯公式 由两类曲面积分之间的关系知 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 注 不满足上述条件，可以引进若干张辅助曲面 分成几个有限的小区域使之都满足上述条件 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值 相等，而符号相反，相加时正好抵消，因此上述公 式对这样的区域也成立， 故一般地 1。 若 2。公式成立的条件 根据Gauss 公式，用三重积分来计算曲面积分 是比较方便的，但Gauss 公式同时也说明，可用 曲面积分来计算三重积分 例1 二、简单的应用 解 (利用柱面坐标得) 解 空间曲面在 面上的投影域为 曲面?不是封闭曲面, 为利用高斯公式 故所求积分为 提示: 作辅助面 解 利用高斯公式 取上侧 注 ① 应用Gauss 公式计算曲面积分时，要 求曲面必须是封闭曲面，若不封闭，则需要添 加一辅助曲面使其封闭，而在所添加的曲面上， 曲面积分应是容易计算的，用Gauss 公式计算 三重积分，最后减去所补曲面上的积分值，往 往可使计算简化 ② Gauss 公式要求曲面取外侧这一点也不容 忽视，尤其是对非封闭曲面的曲面积分，所添 加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相一 致 例4 （Green 第一公式） 设函数 u ( x , y , z ) 和 v ( x , y , z ) 在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数，证明 证 在Gauss 公式中 令 移项即得Green 第一公式 例5 计算 平面 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1 所围成的 空间区域的整个边界曲面的外侧 o x y z 解I 分成四个部分 左侧 下侧 后侧 上侧 原式 同理 同理 原式 解II 利用高斯公式 例6 计算 解 取下侧 o x y z z = 1 由Gauss 公式得 而曲顶柱体的体积（用柱坐标） 或用先重后单法 设有向量场 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, ? 是场内的一片有向 则称 曲面, 其单位法向量 n, 为向量场 A 通过 有向曲面 ? 的通量(流量) . 在场中点 M(x, y, z) 处 称为向量场 A 在点 M 的散度. 记作 三、通量与散度 解: 。 求E 通过球面 ? : r = R 外侧的电通量 ? . *