10常用统计分布与抽样分布.ppt

第七章 参数估计 * 第六章： 样本和抽样分布 一个统计问题有它明确的研究对象. 1.总体 研究对象全体称为总体(母体). 总体中每个成员称为个体. 一、总体和样本 总体可以用随机变量及其分布来描述. 例如:总体X为某批灯泡的寿命, 为推断总体分布及各种特征，从总体中抽取n个个体，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目n称为样本容量. 2. 样本 样本的二重性： 抽样之前，样本为随机变量, 记 X1, X2 ,…, Xn . 抽样之后，样本为一组数值, 记 x1, x2 ,…, xn . 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. “简单随机抽样”，要求抽取的样本满足： 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布. 说明：我们所考虑的都是简单随机抽样的样本。从而有： X1,X2,…,Xn独立同分布，与总体分布相同。 例 1 设X1,X2,X3是取自正态总体 的样本,写出样本X1的概率密度函数。 二、统计量 设 为总体X 的样本， 为一个n元连续函数，若样本函数 不含任何未知参数，则称 为统计量. 例 2 设X1,X2,X3是取自正态总体 的样本, 指出下列哪个不是统计量. 几个常见统计量 样本均值 修正的样本方差 样本成数 修正的样本标准差 三. 抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做 “抽样分布” . 1. 样本均值的正态分布 a. 单个正态总体下的样本均值的分布 设总体X 服从正态分布 为来自总体的一个样本， 定理1. 则 为样本均值， b. 两个正态总体下的样本均值的分布 设总体X 服从正态分布 为分别来自X 与Y 的样本，X , Y 定理2. 相互独立， 总体Y 服从正态分布 分别为它们的样本均值，则 c. 非正态总体下的样本均值的分布 定理3. 设总体X 为任意总体,其 为来自总体的一个样本， 则 且n较大时，近似地有 为样本均值，要使 成立，则样本容量 例3 设 为来自母体X的样本， 例4 设总体X服从正态分布 ， 来自总体X，计算 . 设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布 ， 和 是分别来自X和Y的样本，求 的概率。 例5 定理 4 (样本方差的分布) 设X1,X2,…,Xn是来自正态总体 的样本, 分别为样本均值和修正的样本方差,则有 2. 样本方差的卡方分布 定理 5 (单正态总体样本均值的 t 分布) 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 的样本, 分别为样本均值和修正的样本方差, 则有 3. 样本均值的学生氏分布 定理 6 (两总体样本均值差的 t 分布) 两个样本独立, 样本修正的样本方差,则有 X1,X2,…, 是来自X的样本, 是取自Y的样本, Y1,Y2,…, 分别是这两个样本的 样本均值， 是这两个 设 两样本相互独立, 定理 7 (两总体样本方差比的F分布) 分别是这两个样本的 X1,X2,…, 是来自X的样本, 是取自Y的样本, 为这两个样本修正的样本方差,则有 Y1,Y2,…, 样本均值， 4. 样本方差比的F分布 §1 点估计 §2 区间估计 §1 点估计 点估计(Point Estimation)，就是根据样本数据算出一个单一的值，用来估计总体的参数值． 设总体X 中包含k个未知参数 ， 是来自 X 的样本， 是相应的样本值， 构造适当的统计量 用它的观测值 作为 的近似值。 称统计量 为 的估计量。 称统计量的观测值 为 的估计值。 §2 评价估计量的标准 一．无偏性 设 是来自总体X的一个样本， 是总体参数 的一个估计量，若 则称 为 的无偏估计量.