10第一节向量及其线性运算.ppt

数量关系 — 第五章 向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数 第二部分 空间解析几何 在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 基本方法 — 坐标法; 向量法 坐标, 方程（组） 第一节 向量及其线性运算 一、向量的概念 二、向量的加法与数乘运算 一、向量的概念 1. 向量及其表示 向量: 既有大小又有方向的量称为向量(vector). 向量表示法： 或 a 自由向量： 与起点无关的向量. 负向量： 向径：起点为原点的向量. 以M1为起点, M2为终点的有向线段. 与 大小相等但方向相反的向量. 2. 两向量的夹角 则有向线段 与 夹角? ( 0 ? ? ? ? ) , 称为 向量 与向量 的夹角 . 特殊地:当两个向量中有一个零向量时,规定它们的夹角可在 0 与 ? 之间任意取值. 3. 向量的模 向量 的大小或长度称为向量的模(norm). | | 或 向量 或 的模记为 . 模长为1的向量. 零向量： 模长为0的向量. 单位向量： 记为 或 4. 相等向量 5. 两向量平行 规定：零向量与任何向量平行. 两向量平行 , 又称两向量共线 或线性相关 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,则称 此 k 个向量共面 . 二、向量的加法与数乘运算1. 向量加法 1) 平行四边形法则 2) 三角形法则 向量的加法可推广到有限个向量相加 n个向量相加 三角形法则可推广到多个向量相加 . 向量加法符合下列运算律： (1) 交换律： (2) 结合律： 例1 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形. 证明 AD 与 BC 平行且相等, 结论得证. 2. 向量减法 三角不等式： 3. 向量与数的乘法(数乘) ? 是一个数 , ? 与 的乘积是一个新向量,记作 规定: 总之: 数与向量的乘积符合下列运算律： (1) 结合律： (2) 分配律： 向量的加法及数乘运算合称为向量的线性运算 . 例2 化简 解 4. 与 同向的单位向量 任何非零向量可以表为它的模与同向单位向量的数乘. 思考: 5. 两个向量的平行关系 定理 此定理是建立数轴的理论依据. 证明 “?” 取 ?= 0, 即有 ( 与 同向取正, 反向取负) 两式相减, 得 ? ? ? ? , 即?是唯一的. 再证数 ? 的唯一性 . “?” 6. 推论 对数轴 Ou 上的任意一点 P , 轴上有向线段 都可唯一的表示为 P 的坐标 u 与轴上单位向量 的乘积 , 即 . 例3 在 u 轴上取定一点 O 作为坐标原点. 设 A, B 是 u 轴上坐标依次为u1、u2的两个点, 是与 u 轴 同方向的单位向量, 证明 . 证明 同理 三、小结 向量的概念 向量的加减法 向量与数的乘法 (注意与纯量的区别) (平行四边形法则) (注意数乘后的方向) * * * * * *