11.5.2坐标平面上的直线拓展(几何变换III反射续)【杨高】.ppt

第十一章　坐标平面上的直线 11.4.2 点到直线的距离 11.5.2 坐标平面上的直线拓展 几何变换III 反射续 例1.求点 关于直线 对称的 点 的坐标. 分析： 与 关于直线 对称的充要条件是： 线段 被 所平分 ① ② 即 ① ② 设 的中点为 ，则 在 上. 注意：条件①有时也可用 替换. 解：设 的中点 ，于是有： 解得 因此点 的坐标为 例1.求点 关于直线 对称的 点 的坐标. 分析二： 与 关于直线 对称的充要条件是： 解： 因此 例1.求点 关于直线 对称的 点 的坐标. 例2.已知直线 分析:两点确定一条直线,且交点的对称点为自身 解： 再设点 关于直线 的对称点为 因此 最后利用两点式可求得 求直线 关于 对称的直线 的方程. ，即交点 可求得 ，则 例2.已知直线 分析: 是 交角的角平分线 解法二： 设直线 即 解得 ，因此 求直线 关于 对称的直线 的方程. 同解法一，直线 过点 例2.已知直线 求直线 关于 对称的直线 的方程. 分析：把直线 看成是动点 的轨迹， 转化为求 上的点 关于 的对称点. 解法三：设直线 上任意一点 ， 关于 的 对称点 ,则列式 例2.已知直线 反解得 续解： ① 求直线 关于 对称的直线 的方程. 例2.已知直线 续解：因为 在直线 上，因此有 ② 把①代入②中并化简，得直线 的方程为： 求直线 关于 对称的直线 的方程. 注意：解法三具有一般性，但是比较繁复 课堂练习 1.求点 关于下列直线的对称点 的坐标： (1) (2) 2.已知直线 ，求直线 关于 对称的直线方程. 3.求直线 关于直线 对称的直线方程. (选做)4.求证：点 关于直线 的对称点 的坐标是： 课堂练习答案 1.(1) (2) 2. 3. 4.证： 因此 又 中点满足 因此 中点在直线 上. 证毕 课外阅读材料 对称点坐标公式 点 关于直线 的对称点 则对称点坐标公式： 下面用三种方法来推导该坐标公式： 方法一：设中点坐标为 则中点坐标满足方程组： 解得: 再利用中点，代入 化简即可. 课外阅读材料 对称点坐标公式 方法二：利用距离 和有向距离 ,如下图： 课外阅读材料 对称点坐标公式 显然总有： 其中 是法向 量 的单位向量. 由 方法二：利用距离 和有向距离 课外阅读材料 对称点坐标公式 代入 得： 即得. 课外阅读材料 对称点坐标公式的推导 方法三：利用平移变换与旋转变换，转为关于x轴 所在直线的对称问题,如下图： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 方法三：利用平移变换与旋转变换，转为关于x轴 所在直线的对称问题 ： 课外阅读材料 对称点坐标公式的推导 设直线 的倾斜角为 不妨先设 ，则 且 直线 与 轴的交点为 根据图①~⑤,我们有： 方法三：利用平移变换与旋转变换，转为关于x轴 所在直线的对称问题： 课外阅读材料 对称点坐标公式的推导 由于 根据万能置换公式，我们可以得到： 代入上式，化简得： 方法三：利用平移变换与旋转变换，转为关于x轴 所在直线的对称问题： 课外阅读材料 对称点坐标公式的推导 进一步化简，即可得到对称点公式，然后我们 可以验证对于 ，该公式也成立，后略. 最后感谢2014届罗晋楠同学，对于公式推导 的启发与帮助. * * * * * *