11.5对坐标曲面积分.ppt

第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲面积分 第十一章 一、有向曲面及曲面元素的投影 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 麦比乌斯带（莫比乌斯带） 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 玩一玩： 莫比乌斯带 —— 单侧曲面 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 ? 设 ? 为有向曲面, 侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面积元素DS 在 xOy 面上的投影区域 DS在 xOy 面上的投影，记为( DS )xy , 类似可规定 机动 目录 上页 下页 返回 结束 约定 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 ? 的流量? . 分析: 若 ? 是面积为S 的平面, 则流量是底面积为S、斜高 法向量: 流速为常向量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 的斜柱体体积: 如果S是曲面, 流速 不是常向量呢？ 对一般的有向曲面? , 用“分割, 近似代替, 求和, 取极限”的思想, 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 ? 为光滑的有向曲面, 总存在， 其中R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 如果对于任意分割及任意选取的点，下列极限 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由此，引例中,流过有向曲面 ? 的流体的流量为 若记 ? 正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质 (1) 若 且 Si 之间无公共内点, 则 (2) 用?ˉ 表示 ? 的反向曲面, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算对坐标的曲面积分要注意积分曲面所取的侧. 设 ? 为光滑的有向曲面, 在 ? 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, 分, 记作 P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 若对? 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 也可如下定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 S: z = z (x, y), (x, y)∈Dxy 取上侧， 是 ? 上的连续函数, 则 证: 由于? 取上侧, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 若 则有 ? 若 则有 (前侧取+ cosa 0; 后侧取? cosa 0) 说明: 如果积分曲面 ? 取下侧, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (右侧取+ cosb 0; 左侧取? cosb 0) (上侧取+ cosg 0; 下侧取? cosg 0) 例1. 计算 ?是以原点为中心, 边长为a的正立方体整个表面的外侧. 解: 利用对称性. 原式 ? 的顶部 取上侧 ? 的底部 取下侧 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (x + y)dydz + (y + z)dzdx + (z + x)dxdy, 其中 解: 把 ? 分为上下两部分 根据对称性 思考: 下述解法是否正确: 例2. 计算曲面积分 其中 ? 为球面 外侧在第一和第八卦限部分. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、两类曲面积分的联系 设光滑曲面 S: z = z (x, y), (x, y)∈Dxy ，取上侧， 是 ? 上的连续函数, 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 向量形式 ( A 在 n 上的投影) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算曲面积分 其中? 解: 利用两类曲面积分的联系, 有